代数学是数学中一个重要的、基础的分支,由于人类生活、生产、技术、科学和数学本身的需要而发生和发展，历史悠久。它在研究对象、方法和中心问题上经历了重大的变化。初等代数学（或称古典代数学）是更古老的算术的推广和发展，抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上产生、发展而于20世纪形成的。
　　初等代数学,研究数字和文字的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开方)的理论和方法;更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。它的研究方法是高度计算性的。它的中心问题是实或复系数的多项式方程(或称代数方程)和方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究,因此它也可简称方程论。它的演变历史久远,中国和其他文明古国都有贡献，而在欧洲则于16世纪（文艺复兴后期）、17世纪系统地建立起这门学科，并继续发展到19世纪的前半叶。随着电子计算机的广泛而深入的使用，有些内容的新发展已归入计算数学的范围，形成了“数值代数”。（见算术、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、代数基本定理）
　　抽象代数学是在初等代数学的基础上，通过数系的概念的进一步推广或者可以实施代数运算的对象的范围的进一步扩大，逐渐发展而形成的；它自18、19世纪之交萌芽、不断成长而于20世纪20年代建立起来。它研究的对象是非特定的任意元素集合和定义在这些元素之间的、满足若干条件或公理的代数运算，也就是说，它以各种代数结构（或称系统）的性质的研究为中心问题。它的研究方法主要是公理化的。自20世纪40年代中期起，抽象代数学的研究对象又有一些新的拓广。详细点讲，考虑任意一些元素α,b,с,…组成的一个非空集合S 和一个或几个运算，例如记作。,…等。假设S 中任意两个元素α,b(也可相同)依着次序用运算。联结起来的结果α。b仍然是S 中一个完全确定的元素X(封闭性),并且假设对S 中元素实施的运算单独地或相联系地遵守着通常四则或有理运算所适合的一些法则或公理（如加法或乘法有结合律，有交换律，有0或1，有负或逆，有加法分配律等）,则集合S 对于运算。，…成为一个代数结构。由各种代数结构的公理出发研究它们的性质，就是所谓抽象代数学。
　　至今，已有群、环、域、模、代数、格以及泛代数、同调代数、范畴等重要代数结构。