b(n)关于模n剩余类的一点思考
------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律
[文章摘要]
通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和理想。
[关键字]
模n剩余类环循环群子环主理想
[正文]
模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。
一，定义：
在一个集合A里，固定n（n可以是任何形式），规定A元间的一个关系R，
aRb，当而且只当n|a-b的时候
这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用
ab(n)
来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了A的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定A的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定：
[a]+[b]=[a+b];
[0]+[a]=[a];
[-a]+[a]=[0];
根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，A作成一个群。叫做模n剩余类加群。
这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定A的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：
[a][b]=[ab]；
根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，A作成一个环。叫做模n剩余类环。
四，关于理想的定义：
环A的一个非空子集
叫做一个理想子环，简称为理想，假如：
(i) a,b
a-b
；
(ii)a
,b
A
ba,ab
；
所以如果一个模n剩余类环A的子环
要作为一个理想，需要满足：
(i) [a],[b]
[a-b]
；
(ii)[a]
,[b]
A
[ba],[ab]
；
由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。
思路：
第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；
第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；
第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。
例题:找出模12的剩余类环的所有理想。
具体步骤：
第一步：
模12剩余类环所有元素的集合：
={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}
找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示：
([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= 
;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])={[0],[6]};
第二步：
考虑对乘法的封闭性，求其子环：
([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= 
;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])={[0],[6]};
第三步：
根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：
([0])= ([12])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= 
;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};
([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};
([4])=([8])={[0],[4],[8]};
([6])=([6])={[0],[6]};
解答完毕。
通过观察以上的例子我们发现以下特点：
],其中
为12所有的因子.于是我们有以下结论：
模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。
特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。
命题1模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；
这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。得证。
命题2模n剩余类环的所有理想是主理想；
对上面的所有循环子群（对加法），
（[i]），
根据理想的定义，
[a]
;[b],[c]
（[i]）;有:
[b]-[c]=[b-c]
（[i]）;
[a][b]=[ab]= 
（[i]）,同理：[b][a]
（[i]）；
所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为
。
由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。
命题3模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。
设：n的所有因子为
,
,
,…,
,…;
为n的因子。
任意取一循环子群由[a]生成(0<a<n,a
Z);
设d=(a,n);既d是n的因子不妨设为
,则a=
, n=
(
,
Z, 
<
),且(
,
)=1,则a的阶为
,又a
([
])，推出([a])=([
]),即该循环子群等价于n的一因子作为生成元生成。
综上所述，命题成立。
所以有以下结论：
模n剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。
推论：当n是素数时，模n剩余类环只有零理想和单位理想。
例题1:找出模18的剩余类环的所有理想。
解：
18的因子：1，2，3，6，9，18；
由上述结论知：所有理想为：（[0]），（[1]），（[2]），（[3]），（[6]），（[9]）。
（注：通常([n])用([0])代替，二者等价）
例题2:找出模7的剩余类环的所有理想。
解：
7是素数，由推论知：所有理想为：（[0]），（[1]）。
[参考文献]
[1] 丘维声《抽象代数基础》北京：高等教育出版社
[2] 张禾瑞《近世代数基础》（修订版）北京：高等教育出版社
[3] 潘承洞《简明数论》北京：北京大学出版社