数论

我是学数论的研究生，以前见有人发贴子，也有同学曾经问过我一些学数论的参考书。今天谨以我个人的喜好，谈谈学习数论的参考书。在此我只提：我以前曾经读过现在正在读着和将来十分想读的数论参考书目。一家之言，仅供参考！

在国内有一个不好的倾向是把数论分的太绝对化，要么是学代数数论的要么是学解析数论的。听过美国威斯康星大学杨同海教授的一个报告，说了一句挺有意思的话：在美国都认为我是做解析数论的，而在国内都说我是做代数数论的。其实我认为作为一个学数论的研究生，在硕士阶段，即使你是学代数数论的也应该知道Riemann－zeta function zero-free，学解析数论的也应该明白Adele ring,Idele group,这些都是以后进一步学习最基本的东西5。如果作为一个硕士毕业的数论研究生这些你都不知道，那只说明一种情况是你老板不是一个合格的导师。我一直认为一个合格的导师是不仅把自己的专业知识传授给学生，更重要的是告诉学生自己的学科在整个数学中的所处的地位和作用，在和自己相关的学科中别的数学家都在做什么工作什么是主流的数学什么是核心的数学，而不是逼着学生去读你的只能发表在某某大学学报上的论文。
我所说的书目，一类是可以做教材的一类是平时学习的参考书。做教材的书我认为起码要满足三个条件：不要太厚 不会让人望而生畏；起点不要太高，即预备知识不要太多；要有当代数学的内容，你不能整个一本书都是讲一百多年前的数学，那是本科生的教材!

1 初等数论

内容主要是数论函数和同余性质。国内外都有很多很好的参考书的。

2 解析数论

H.Davenport multiplicative number theory springer-verlag GTM74
A.A.Karatsuba（卡拉楚巴） 解析数论基础 科学出版社 有中译本和英译本

这两本书都是非常适合做教材的。包含了Riemann zeta function，Diriclet L-functions, zero-free , prime number theory , explicit formula，three primes theorm of Goldbach conjecture , circle method ... 解析数论所有的基础知识。 H.D的书写的非常简练优美可读性很强（除去前六章,我认为！ ）。

另外如果你有足够大的书架足够高的学习热情，你可以买本潘承洞潘承彪的“大词典”：解析数论基础 科学出版社。我觉得这本书只适合做词典用。

有了这两本书的基础，如果你想了解 Goldbach Conjecture and Chen's Theorem,你可以看 潘兄弟 歌德巴赫猜想 科学出版社 有英译本。这可能是他们合写的一本最好的书。

如果想学习更详细的 Reimann zeta function 知识，你应该只看E.C.Titchmarsh The theory of the Riemann zeta function, second ed. Oxford Univ. Press.这是因为在 BAMS 中 P.Sarnak 给 A.A.Karatsuba and others The Riemann zeta function 写的 book review 的最后一句很有意思的话是：If I were limited to having just one book on my shelves on Riemann zeta functions,I would opt for the 1986 edition of Titchmarsh"s monograph. 最近一二十年Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory的研究有很大的关系，但一般讲Reimann zeta function的专著中很少讲到这一点的，不过可以从网上找到一些这方面的survey文章来看看的。

最近又有一本非常新非常好的讲解析数论的书，那就是H.Iwaniec E.Kowalski analytic number theory 2003 AMS 书比较厚当然内容也非常多，基本上包含了当代解析数论所有的工具技巧和内容。有了这本书上面所有的书你都可以不用读了。

3 代数数论

H.P.F.Swinnerton-Dyer A brief guide to algebraic number theory Camb. Univ. Press

这是我见过的最适合做教材的一本书，一学期的课程足够了！作者是大名鼎鼎的 BSD Conjecture 中的 SD。薄薄的一百多页讲述了 Ideals ,Valuations ， Adele , Idele , Special fields , Tate’s thesis , L-series ， Class field theory ect . 我一向不喜欢写的太厚的书更不喜欢写的太初等的书，书中没有这两个缺点而是很多地方充溢着作者对代数数论独到的精辟的见解。关于其他参考书目我建议大家看看冯克勤老师的代数数论的一个附录和结语，我认为这是那本书最值得看的部分 。

我比较喜欢 S.Lang algebraic number theory springer-verlag GTM110. S .Lang是一个以写很多书而著名的数学家，光springer－verlag就好像给他出了三四十本吧！出书多了就有很多人对他写的书不以为然，其实就这本书来说我认为还是非常好的讲了class field theory ,analytic theory , Hecke L-functions , Artin L-functions, … .

另外一部名著我认为是学数论的学生大都知道可能大都没仔细读完过（起码我是只仔细看过其中的chapter VII Zeta-functions of A-fields,另外第二部分classfield theory并不是我很感兴趣的地方。），不用猜你知道我说的是 A . Weil Basic Number Theory. 大数学家都喜欢给自己的书起个不起眼的名字，A . Weil就是这样，其实讲的东西绝对一点都不basic，用simple algebras和group representations的工具使用Adele ring and Idele group的语言 ，统一讲述Global Field－number fields and functions fields上的数论。读这本书之前可能需要懂点拓扑群和群表示的东东。

4 自守形式 自守表示 自守L－函数 郎兰兹纲领

(1) H . Iwaniec Topics in classical automorphic forms AMS
H . Iwaniec Spectral methods of automorphic forms AMS second ed.

这两本书都是从analytic methods出发。第一本讲述了GL(2) 上的 holomorphic modular forms 的情况着重讲 了 Kloosterman sum , automorphic L-functions ; 第二本讲述了GL(2) 上的 Maass wave forms 的情况着重讲 Spectral theory 中的trace formula . 从这两本书里，你能看到当代解析数论的主要研究领域和主要研究方法，这与经典的堆垒素数论additive number theory在内容和方法上都有很大的差别。Kloosterman sum , Trace formula 在当代解析数论研究中起着桥梁的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道L-Functions的研究在 Langlands Program 中起着中心的作用，而研究L-functions 往往需要很强的分析方法。最后引用别人的一段话

：… we remark that over the the past three decade research in the Langlands Program has been pursued along main lines; via L-functions,via dual reductive(theta liftings)and via the trace formula ... one can take the point of view that automorphic forms are primarily of interest because of concrete analytic information they give us classical problem. In the optic, functoriality is a tool rather than an end in itself,and a wide range of other methods from analytic number theory play an equally important role...

（2） Automorphic forms ,Automorphic representations , Langlands Program

关于伟大的Langlands Program , 最原始也可能是最好的参考书是伟大的 H.Jacquet 和伟大的R.P.Langlands 写的伟大的 Automorphic Forms on GL(2) LNM 114 （可在Langlands主页上免费下载）. 当然这本书对初学者来说也是比较难读的，需要掌握很多预备知识。

S.Gelbert Automorphic Forms on Adele Groups （Princeton 出版的一套红皮书）应该是一本非常好的参考书尽管出版于1975年。励建书老师曾在一个Summer School给同学们推荐过这本书. 但是我翻过感觉写的有点乱，不像一般的书，将这方面的理论分成local theory和global theory，一目了然！

还有一本不错的书是 R.Godement（法国人，Jacquet的博士生导师）写过一个比较薄的讲义 Note's on Jacquet－Langlands' theory 书中主要是把LNM114的重点内容讲了一边，比LNM114好读多了，就像在perface中作者说的那样，书名其实也可以叫做 Jacquet－Langlands' theory made easy ！这本书的缺点就是一般的图书馆都找不到，好像没有出版？ 只是一个内部讲义！笔者最初就是从这本书学起的，一位非常认真的老师给仔细讲过。

可能很多人喜欢看, D.Bump Automorphic forms and representations 当然这是一本非常好的参考书。书里主要讲了 local and global theory (Jacquet-Langlands' theory) for GL(2) 和 Rankin-Selberg Method ，“… but it less tightly organized and considerably longer ( 574 pages ) … ” . Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi method当然是研究automophic L functions的重要的解析方法。Rankin－Selberg method 也是 Bump 所擅长所偏爱的部分，书中就写的比较多。内容有点偏 (励建书语,呵呵).

另外著名的书就是 A . Borel W.Casselman Automorphic forms, Representations , L-functions PSPM vol. 33 (AMS上可免费下载)。 这是一个会议论文集，都出自大家之手，当然也是非常全面非常厚的。这本书可能是做这方面的数学家人手一册的必备参考书，让AMS 赚足了钱，后来就索性贴到网页上 online 。一位老师告诉我这是一辈子都有用的书 ^-^. 当然，初学者不可能也没必要从头读到尾，拣你喜欢感兴趣的看就行了。

还有两本非常新也是非常好的书 J.Bernstein S.Gelbart An Introduction to Langlands Program 这也是一个会议论文集，但不太厚，作者都是这方面的专家的，重要的是从最基本的基础讲起，也不需要太多的基础知识就能看的懂的

J.W.Cogell , H.H.Kim , M.R.Murty Lectures on automorphic L-functions 书中分了三部分分别讲述了Rankin-Selberg method and converse theorem，Langlands-Shahidi method 和applications of symmertic power L-functions to analytic number theory 三人都是这方面的专家。看看下面的介绍你就知道是一本非常好的书 This book provides a comprehensive account of the crucial role automorphic L-functions play in number theory and in the Langlands program, especially the Langlands functoriality conjecture.There has been a recent major development in the Langlands functoriality conjecture by the use of automorphic L-functions, namely, by combining converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction to these developments and explains how the Langlands functoriality conjecture implies solutions to several outstanding conjectures in number theory, such as the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin's conjecture. It would be ideal for an introductory course in the Langlands program.

中文的可以看 黎景辉 二阶矩阵群的表示和自守形式 北京大学出版社。书中的内容偏少些，重要的Automorphic L－functions基本上没讲，但无论如何是一本不错的参考书。

还有一本不错的中文书是 李文卿 数论及其应用 北京大学出版社 书中也是统一处理数域和函数域的，前几章讲当代解析数论的基础内容，第七章讲的是classical的模形式，第八章automorphic forms相当把 LNM114 简要的叙述了一边。

5 算术代数几何

arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年数论和代数几何相结合发展起来的一门学科.由P.Deligne，G.Faltings，A.Wiles最近二三十年的工作，显的尤其重要，也可能是在国外数论最热的方向。需要较多的预备知识，起码你要知道点 代数数论 （integers ring , discriminant and ramification , ideal class group ）; 交换代数( Dedekind domains ， discrete valuation rings) ; 代数几何( affine and projective curves , scheme theory ，Riemann-Roch theorm) .

我见过的这方面的书比较少，有一本是 D. Lorenzini An Invitation to Arithmetic Geometry GSM9 AMS ，这本书的优点是你不知道上面的内容也没关系，从头开始，最后证明了 Riemann Hypothesis for curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用Riemann-Roch Theorem 给出的证明方法，可能对于要做这个方向的硕士生来说还是有点太简单吧。
另一本书 IAS/PARK CITY vol 9 Arithmetic Algebraic Geometry 是AMS组织的 summer school的讲义，总要讲了 Elliptic Curves，Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry,Galois Representations ，Serre's Conjectures,Modular forms ，这辆本书可能会只使你对这个方向有个大致的了解吧！
GTM201 Diophantine Geometry spring-verlag 也应该是这方面的不错的书，但内容和难度都比上面两本书高一个层次的。偶的感觉！

如果真要从事arithmetic algebraic geometry这个方向的研究，个人认为A.Grothendieck同学搞的那些抽象的象天书一样东东早晚还是需要拿来仔细读的，但是厚厚的几大本有点bt的EGA，SGA是不是都要仔细读哪（三年未必能看完）？可能也是个仁者见仁智者见智的问题！ 笔者当然没有看过任何一本。