代数学发展简史(包括泛代数、同调代数、范畴简介)
在欧洲，Algebra一词最初来源于9世纪阿拉伯数学家和天文学家花拉子米的重要著作的名称。原义是还原(al-jabr)与相消(almuquabalah)的科学,简称为algebra。清初输入中国时,译为阿尔热巴拉（梅瑴成，1761）,后改译为代数学（李善兰，1835）。
中国古代在初等代数学方面,有光辉的成就。初等代数学中的正负数加减运算和求联立一次方程组与正系数的二次方程的数值解是中国古代数学家的发明创造，且早就见之于《九章算术》（成书不迟于公元 1世纪）和魏晋刘徽的《九章算术》注(263)。求正系数的三次方程的数值解,在唐初王孝通《缉古算经》(626)中已经出现。中国古代代数学在11～13世纪宋、元间达到了发展的高峰。作为例子，可以提出：①1247年秦九韶在《数书九章》中创造了高次多项式方程的一般数值解法，这种方法在原则上和所谓的鲁菲尼-霍纳方法(1804,1819)是一致的。同时代的李冶相互独立地在《测圆海镜》(1248)和《益古演段》(1259)中，根据应用问题的条件列出方程，称之为《天元术》，作出了重要贡献。②1261年杨辉在《详解九章算法纂类》中引用出自贾宪(约1050)的增乘开方法和二项式展开系数表，后者是世界上已知最早的这种表。③朱世杰1303年在《四元玉鉴》中，研究了始于宋沈括《梦溪笔谈》（1086年或稍后）中的高阶等差级数论和多元联立方程组与消去法（所谓四元术）。中国古代在代数学方面的工作，与实际应用问题紧密联系，着重数值计算，风格独特。虽已用天、地、人、物表示未知数，但没有发展为文字代数学。在漫长的一千多年的岁月里，中国与印度、阿拉伯国家、朝鲜、日本在数学（包括代数学）方面是有相互交流和影响的。
古代巴比伦、埃及、希腊、印度、阿拉伯等文明古国也对初等代数学的发展，作出了重要贡献。例如希腊丢番图的一次与二次不定方程的解法(250年左右)；印度婆罗摩笈多（ 7世纪）和婆什迦罗第二（12世纪）的二次方程一般解,后者认识到负根的存在;阿拉伯的花拉子米的二次方程一般解法(允许无理数的存在)、奥马·海亚姆（12世纪）的三次方程的圆锥曲线求解法等。
至于文字表示法的引进和发展，通常归之于16和17世纪的法国数学家F.韦达和R.笛卡儿。从这时起，代数学就成为各种数量(用文字来代表)以至多项式的计算的理论。16世纪初,意大利数学家S.dal费罗、N.塔尔塔利亚、G.卡尔达诺、L.费拉里等先后成功地得到了三次和四次多项式方程的解的一般公式，在18世纪进一步使用了"复数"。典型的著作是L.欧拉的《代数学引论》(1770)。
到了18世纪以至19世纪初，由于实际应用和科学工作（包括辅助计算数字表）及理论发展的需要(例如,C.F.高斯在成功地解决谷神星的轨道的工作中，就计算了一个8次多项式方程的根)。高次多项式方程的解法（即根的计算和分布）的问题逐渐成为当时代数学的中心问题。很多数学家一起创造出多项式方程论,如对实系数多项式的P.鲁菲尼、W.G.霍纳和I.牛顿(1669)求实根的近似值的方法和格雷夫(1837)、H.И.罗巴切夫斯基(1834) 求复根的近似值的方法，限制或确定正根或负根、实根的个数的笛卡儿符号法则(1637)和斯图姆定理(1835)等结果。
18、19世纪之交，高斯对于复数及其运算的几何表示有深入的讨论，并证明了（事实上严格的证明一直到1920年才完成）代数基本定理，即任意一个复系数一元n次方程必定有一个复数根,从而也就恰有n个复数根(相同的根按重数计）。用现代的术语说,复数域是一个代数封闭域。这时人们为了求解多项式方程而扩大数的范围的要求，就在一定程度上得到满足了。
也就是在这个时期，一些著名的数学家企图对五次以上的方程求出用系数通过一系列有理运算和开某些方根而得的结果,或简单说用根式表示根的公式,所作的大量努力,均徒劳无效。可是在J.-L.拉格朗日(1770)对二、三、四次方程的求根公式所作的分析中，也已孕育着正确解决这个问题所需的新概念──置换群和数域。继鲁菲尼(1813)之后，N.H.阿贝尔终于在1824～1826年间证明了五次以上的一般方程用根式求解的不可能性。他在工作中，实质上引进了在给定数域中不可约多项式的概念，即系数在域F中的一元多项式不能表示成两个系数在F中的次数较低的多项式的乘积。1832年，E.伽罗瓦更对于高次方程是否可以用根式求解的问题给出彻底的解答。他引进了置换群的正规子群和数域的扩域以及群的同构等概念，并证明了由方程的根的某些置换所构成的群(即方程的伽罗瓦群)的“可解性”（见有限群）是可以用根式求解的充分必要条件。由于一般n次方程的伽罗瓦群是对称群Sn,当且仅当n≤4时Sn为可解，因此一般五次以上方程不可能用根式求解（见伽罗瓦理论）。
E.伽罗瓦的遗稿是在1832年决斗致死前赶写而成的，J.刘维尔1846年才把它编辑出版。J.A.塞雷特在他1866年出版的《高等代数教程》第 3版中才对伽罗瓦的工作做了介绍。对于伽罗瓦理论的第一个全面而清晰的阐述，是C.若尔当在1870年的专著《置换和代数方程专论》中给出的。这本名著综合已有结果,得到新的重要结果,大大地推进了置换群论的研究的开展。若尔当深刻地研究了由Fn的一些可逆线性变换组成的线性变换群。他还引进了商群的概念,并证明了今天通称为若尔当-赫尔德定理的一部分。此外,他首先研究了无限群，后来,M.S.李、（C.）F.克莱因和（J.-）H.庞加莱,在微分方程论、几何学（埃尔朗根纲领）、自守函数论等的研究中，都依赖于无限变换群(连续或离散)、无限群的理论同时得到发展（见群）。至于抽象群的概念虽曾早在1854年为A.凯莱接触到，但只限于有限群。一直到19世纪80年代，抽象群的定义才得到通用。这里所说的由有限置换群的概念的产生到抽象群的定义的形成这一发展过程，正是最终引向建立抽象代数学的第一个根源。
第二，在数论一方面,首先在18、19世纪之交,在拉格朗日和高斯关于整系数二次型αx2+2bxy+сy2的研究中,对判别式D=αd-bс取固定值的二次型，引进了在整数系数且行列式为1的二元变换下等价的概念,并阐明只有有限多个等价类。对于这些类引进它们的“复合”作为运算,这样就在实质上得到了一个有限交换群。其次,从高斯关于复数α+bi（α、b为有理数或整数）的研究开始，在德国数学家P.G.L.狄利克雷、E.E.库默尔、L.克罗内克、J.W.R.戴德金、D.希尔伯特等对代数数论的研究中，域、理想、模等概念被引入并起着重要的作用。由于研究费马大问题（见费马大定理），导致库默尔第一个提出理想数的概念，后来戴德金建立起理想的理论，用以完成通常整数惟一分解定理对代数整数（整数系数一元方程的（复数）根称为代数数,首项系数为1的改称为代数整数）的推广。戴德金还首先引进格的概念来研究理想。
第三，在线性代数和代数方面的工作，对于引向抽象代数学的建立起了很大的推动作用。早在1830～1850年间，就由英国数学家G.布尔在研究思维规律中建立起逻辑代数或布尔代数（一种特殊的格），W.R.哈密顿建立起向量代数、四元数非交换代数和一般代数，A.凯莱建立起矩阵代数和八元数非结合代数。还有德国数学家A.F.麦比乌斯和H.G.格拉斯曼关于向量代数、线性代数和外代数的工作。再在19、20世纪之交，更有英美德法许多数学家在这方面做了大量工作。如J.J.西尔维斯特、W.K.克利福德、B.皮尔斯和C.S.皮尔斯、L.E.迪克森、J.H.M.韦德伯恩、K.（T.W.）外尔斯特拉斯、戴德金、F.G.弗罗贝尼乌斯、T.莫利恩、E.N.拉盖尔、é.(-J.)嘉当等。作为重要成果，可以提出韦德伯恩在1907年关于一般线性结合代数的构造理论和é.嘉当1894年关于复数域上单纯李代数的完全分类工作。上面这些代数的元素对于乘法运算，有的不适合交换律，有的不适合结合律，有的有零因子（即α≠0，b≠0，而αb=0,矩阵代数就是这样），就大大地扩充了过去代数学进行运算的主要对象。如向量、四元数等更由于与力学、物理学的联系而得到发展。
可以说，从19世纪初起，抽象代数就在萌芽并进而成长。到了19世纪末叶，群以及紧相联系着的不变量的概念，在几何和分析上，在力学和理论物理上，都起了重大的影响。深刻地研究群以及其他相关的概念，如域、环、模、代数等，应用到代数学各部分，从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化的研究,这样就形成了抽象代数学的更进一步的演进,完成了以前相对于独立发展着的三个主要方面（群论、代数数论、线性代数以及代数）的综合，与差不多同时发展的数学公理化运动相互促进。对这一步统一的工作,近代德国学派起了主要的作用。由戴德金和希尔伯特于19世纪末叶工作开始，在H.韦伯的三卷巨著《代数教程》(Ⅰ,1894；Ⅱ,1896；Ⅲ，1891)的影响下，E.施泰尼茨于1911年发表的重要论文“域的代数理论”对于代数学抽象化工作贡献很大。自20世纪20年代起，以（A.）E.诺特和E.阿廷及她和他的同事、学生们为中心，抽象代数学的发展极为灿烂。在群论、域论、阿廷的形式实域理论(与O.施赖埃尔合作)、希尔伯特第17问题的解决、类域论、诺特(交换)环的理想理论、诺特的模论及应用（建立起有限群的表示理论与代数的构造理论之间的联系）、代数的理论到阿廷环的推广等方面，都有重要的成果。德国学派的H.哈塞、R.（D.）布饶尔、E.诺特与美国学派的A.A.阿尔伯特证明了一个主定理：代数数域上的中心单纯代数都是中心上的循环代数(1930～1931)。它是这时期一个最突出的成就(见结合代数)。B.L.范·德·瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿于30年代初写成《近世代数学》，综合当时抽象代数学各方面的工作于一书，对于抽象代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。自50年代第4版起，该书改称《代数学》。
综合上面概括地讲,抽象代数学就是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构（群、环、域、模、代数、格等）的性质为其中心问题的。由于代数运算贯穿在任何数学理论和应用问题里，也由于代数结构及其元素的一般性，抽象代数学的研究在数学中是具有基本性的。它的方法和结果渗透到那一些与它相接近的各个不同的数学领域中,成为一些有新面貌和新内容的数学领域,如代数数论、代数几何、拓扑代数、李群和李代数以至代数拓扑学、泛函分析等。这样，抽象代数学就对于全部现代数学的发展有着显著的相互影响，并且对于一些其他的科学领域，如理论物理、结晶学等，也有重要的影响。
随着数学中各分支理论的发展和应用的需要，抽象代数学得到启发和促进而不断发展。20世纪30年代所谓抽象代数学的一些基本内容，现在已经成为每个现代数学工作者必备的理论知识，有的还是某些领域的科学技术工作者需要掌握的有力的数学方法。在1933～1938年间，经过G.伯克霍夫、J.冯·诺伊曼、Л.Β.坎托罗维奇、O.奥尔、M.H.斯通等人的工作，格论才确立在代数中以至在数学中的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展和产生深刻的影响，泛代数、同调代数、范畴等新领域被建立和发展起来，它们都是在抽象代数学中起统一作用的概念，在它们的各自研究中人们能够从某一方面同时研究许多代数结构，甚至其他数学结构。
泛代数的思想作为各种代数结构的比较性研究，肇源于A.N.怀特海1898年的专著，但是直到在20世纪三四十年代才得到有深刻意义的结果（G.伯克霍夫、A.塔尔斯基、B.琼森等）。泛代数对数理逻辑尤其是模论有重要应用，又以数理逻辑为它的重要研究工具。它的一个基本概念是所谓的Ω代数，即一些代数结构S,T,…等的集合配备着一些有限元运算ω，…等的集合Ω，并有一些映射,如?:S→T，保持Ω中运算ω，即?ω=ω?。现在泛代数的某些内容可通过范畴的观点来处理。
同调代数于40年代被引入代数学，最先出现的群的上同调和同调是由代数拓扑学家W.赫维茨的问题(1936)的解决（H.霍普夫、H.弗勒登塔尔、B.埃克曼、S.艾伦伯格、S.麦克莱恩等）所引起的，并导致艾伦伯格和麦克莱恩于1945年定义了群的(系数在任意域中的)上同调群，同时G.赫希施尔德引进了结合代数的上同调群。J.L.科斯居尔和C.谢瓦莱、S.艾伦伯格发展了李代数的上同调理论。这些分别的理论于1956年为H.嘉当、艾伦伯格用范畴的语言统一起来。同调代数在数论和群论中，以至在代数几何学和代数拓扑学中都有重要的作用。
范畴的概念于 1945年在艾伦伯格-麦克莱恩引进同调代数的工作中产生。它的概念包括两个不同的成分:一类对象和一类它们之间的态射(如两个集合间的映射,两个群间的同态等),而且这些态射可以结合起来又成为一个新态射，态射的结合适合结合律，有单位态射。范畴的定义把对象和态射放在同样的地位，与通常把着重点放在对象上的作法不同。范畴的语言和基础部分现在已渗透到数学的很多领域中，并在它们的一些深刻的新的发展中起到了重要的作用（例如代数几何学、代数拓扑学等）。
在上面这些新理论发生和发展的同时，由于电子技术的发展和电子计算机的广泛使用，代数学（包括泛代数和范畴这样的新领域）的一些成果和方法被直接应用到某些工程技术中去，如代数编码学、语言代数学和代数语义学(特别与计算机程序理论的联系)、代数自动机理论、系统学的代数理论等新的应用代数学的领域，也相继产生和发展。代数学又是离散性数学的重要组成部分，并对组合数学的蓬勃发展起着重要的作用。这些新的应用，促进了近世应用代数学的形成，包括半群、布尔代数、有限域等。
近年来各抽象代数结构的研究也取得一系列深入的和突破性的成果。如P.德利涅1973年证明的有限域上的黎曼-韦伊猜想,对于代数几何学和数论等学科都有重要的影响。1983年G.法尔廷斯用深入的代数几何的结果和方法，证明了费马大问题(xn+yn=zn,n≥4)只能有有限多个解。这是对费马大问题的最终解决的一个突破。另一个出色的成就是1981年初有限单群分类问题的完全解决。这些，都使抽象代数学的研究兴旺发达。
近代中国数学家首先在抽象代数学方面工作的是曾炯之。他曾受教于E.诺特。他的一个主要贡献是证明了：设Ω为代数封闭域,则Ω(x)上所有以Ω(x)为中心的可除代数只有Ω(x)自己(1933～1934)。1936年他引进了Ci域的概念（域F称为Ci域,如对任意正整数d，任一系数在F中的n元d次齐次多项式?(x1,x2,…,xn), 若n>di,必在
中有一个非全零解）, 并证明了一个重要定理:若Ω为代数封闭域,则Ω(x1,x2,…,xn)为一 Ci域。惜已早逝，工作中断。这个定理在1951年为S.兰重新独立发现，现被称为曾-兰定理,而Ci称为曾层次。这个定理是大多数关于超越扩张的布饶尔群的研究的基础，而且对阿廷-施赖埃尔形式实域上二次型理论有重要应用。
在近代中国，代数学的发展实始自华罗庚。从1938年秋起，他领导了一个抽象代数学讨论班，从有限群论开始，他和讨论班的其他参加者得到了一些有限群论的结果。自40年代初至50年代间，华罗庚在体论、矩阵几何、典型群三方面进行了系统而深入的研究，作出了重要的贡献。他运用（华）恒等式的技巧，证明了著名的(华)定理：体的半自同构必为自同构或反自同构(1949)，从而证明了特征不为 2的体上的一维射影空间的基本定理。他对矩阵几何的研究，从初期的域推广到体而更加完整。在体上的矩阵几何，是体上的代数几何学的开端。他运用独特的矩阵方法，在体或整数环上的典型群的自同构和构造的研究方面,特别是对较困难的低维情况,取得了优于其他已知方法的结果。由于他和在他影响下其他数学工作者在这方面取得的一系列结果，在国际上被称为中国学者的矩阵方法。还应指出，华罗庚在多元复变函数论方面的重要贡献，与群表示论有密切的联系。
周炜良在代数几何方面有重要贡献。(见代数几何)
中国代数学家还在群及其表示论、李群和李代数、环论和代数论、代数数论等方面取得了一些有意义和重要的结果。