抽象代数学习心得
这是我个人的一篇随谈性的文章，目的是和大家一起分享我学习抽象代数的体会。我只是一个刚学完抽象代数没多久的本科生，这篇文章自然谈不上什么含金量。不过我也曾长期处于菜鸟的阶段，也曾经苦闷过，现在回顾一番，有不少感受。这篇文章是专为曾和我一样或者即将和我一样在代数学迷宫中闯荡的朋友所写，希望对大家有用。
我想对于初学抽象代数的人来说，他最感兴趣的就是一般高次代数方程的不可解性和尺规作图问题的解决。这是他学习的兴趣的来源和前进的动力。不过从最基本的群的定义开始，直到问题的最终的解决，仍然有一段不短的路。有不少书试图一次性地将这一过程从头到尾展现给读者，我认为效果并不好。最好是先入门，掌握基本的理论，再去看精密的东西。那些一次讲下来的书，往往只讲后面结论用到的东西，对那些要求严格的读者来说，很难满意。尤其难以让人全面地理解和掌握。
我的建议是：丘维声<<抽象代数基础>>——GTM167<<Field and Galois theory>>——GTM101<<Galoistheory>>.
丘维声老师的<<抽象代数基础>> 是我非常钟爱的一本小书，叙述清晰，非常适合初学者作一学期的教材之用。作者并未求全，而是有重点地介绍了抽象代数的主要内容。课后有精选的习题。<<Field and Galois theory>>的特点是循序渐进，每个定理都有精确的证明，而且内容全面，看过之后你会对域论和Galois理论有一个全面的了解。<<Galois>theory>是著名数学家Edwards的著作，很薄的小册子，讲述的是Galois理论的历史并解读Galois本人的思想，当你学完前两本之后，再来读第三本，就会豁然开朗，“大彻大悟”。
国内的另一本常用教材是聂灵沼，丁石孙的<<代数学引论>>，这本书讲的也可以，比前者要多要难一些，不过我感觉这本书并没有多少自己的特色。尤其是习题，基本上都是从更深的理论中抽出来的。
此外，我还要特别推荐莱德曼的小书<<群论引论>>，这是在是初学者的至宝，看过你就知道。(图书馆有好几本)我想即使是专家看到它也会表示欣赏。对于所有入门的书来说，大家的内容都是一样的，甚至定理的证明方法也相差无几，但是不同的人采用不同的叙述，会让你有截然不同的感受。
下面说一下我学习抽象代数的感受。我认为在群论部分，核心是群在集合上的作用。学习完群论后，应当自觉养成用群在集合上的作用的观点去看问题，也就是表示论的思想。(说到这里不得不一提杨子胥的<<近世代数习题集>>，且不说题目后面跟答案的方式不利于读者的思考，书中的习题解答过分注重初等的技巧，表示的思想没有得到体现，对于读者掌握真正的思想毫无益处。当然如果你只是想抄抄作业又当别论)比如对于一个群G，我们已经知道它的一少部分信息，就如同一个黑匣子，我们大概知道它的一些表面信息。要掌握它的内部结构，就要用群在集合上的作用这一“X光”，底片就是群所作用的集合。通过分析解读群在集合上的作用的效果，也就是透射出来的“胶片”，来获取群G的内部信息。当然这个集合不能是随便哪个集合都可以的，要利用已知的信息，构造一个合适的集合，以及群在这一集合上的某个合适的作用。如果你掌握了这种思想，就可以随时推导出Sylow定理的证明来。
举个简单的例子：设H和K是有限群G的子群，求证 | HK| = |H|*|K|/|H ∩ K| 想想怎么用群在集合上的作用来解？这比算陪集代表元更快，更深刻。
在环这一部分，我认为只要掌握好基本的定理和概念就可以了。说说容易，要做好也不简单。比如，理想升链(Noether)条件保证了分解为有限多个不可约元乘积的“存在性”，不可约元都是素元保证了这种分解的“唯一性”。一般的代数整数环，正是由于不满足后者，而不成为唯一因子分解整环，从而导致了理想的概念。(这些你知道吗)
要给初学者讲清楚理想的来源是很困难的，不过多少可以试一下。我们知道要使得一个环成为UFD,只要它满足前面说的两个条件。不过第二个条件还可以替换为“环中的任意两个元素(当然也就是有限多个)都有最大公因子”。代数整数环(Q的有限次扩域F中全体代数整数的集合)恰好是Noether环，但并不是任意两个元素都有最大公因子。事实上是，它们的“最大公因子”不在这个域F内！回忆一下在通常的整数环Z当中，有限多个整数的最大公因子d可表示为它们的整系数线性组合,而且d是这些整数的所有线性组合中的“最小的”，也就是这些整数的任意线性组合都是d的倍数，换言之，d是这些整数的所有线性组合构成的集合的“生成元”。这就提示我们用另一种方式定义一般整环R中的有限个元素的最大公因子，就是定义为它们的所有R系数线性组合构成的集合S，注意，S是一个集合，但是Kummer把它看成是一个想象中的“最大公因数”，他称之为“理想数”，这就是现在所说的理想的来源。大家可以很容易看出集合S的确是现在意义下的理想。然后，对于每一个R中的元素a,显然集合(a)所对应的想象中的“最大公因数”就是a本身，这样一来，这些“理想的数”之间就可以有运算，求最大公因子等等，Kummer正是在这一想法上得到了理想的唯一分解定理：代数整数环中每一个非平凡理想都可以唯一分解为有限多个素理想的乘积。
至于域论(Galois理论)，这是一套完美精致的理论。不过我自己的感受是，这套理论的核心并不是Galois基本定理，而是同构扩张定理，这一定理对于域论的重要性，有点类似于Hahn—Banach泛函延拓定理之于泛函分析，它起到的是基石的作用。同构扩张定理保证了具有某种性质的域的同构的存在性，而且不管是定理的结论(泛函的延拓和域同构的延拓)还是定理的证明过程(先延拓到某一个大一点的集合上，再用Zorn引理)都颇多相似之处。这是在是一件发人深省的事。灵活运用这一定理，不仅仅是可以在很多时候大大简化证明，重要的是它能更深刻地揭露问题的本质。可以说能否熟练运用这一定理是判断是否真正掌握域论的标准。
最后我想叙述一下Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。证明的过程比比皆是，不需我多说，但是对于初学者(尤其是自学的人)来说，仍然存在一些不容易理解的地方，我想就我个人的理解去叙述一下证明的思路，这样大家自己读证明的时候会容易一些。
一个特征为0的域F上的代数方程f(x)=0根式可解，等价于这个多项式的分裂域含于某个以F开始的n根式扩张E中，这是把根式可解“翻译”成数学的语言,是解决问题的第一步。一般来说这个E不见得是域F上的Galois扩张，不利于我们应用Galois扩张的丰富知识，幸好这个限制并不是本质的，因为可以证明E的正规闭包仍是一个n根式扩张(道理很简单，把那些不足的根全部加进去就可以了)。所以我们可以假定这个n根式扩张E还是F上的Galois扩张.这时G是Gal(E/F)的子群。
在定理的证明过程中主要用到两个重要结论：
1 .Natural Irrationalities（<<代数学引论>>246页定理3）。
2 .群G可解当且仅当其子群和商群都可解。
这两个定理的用处下面会解释。
天才的Galois发现了f(x)的Galois群G的可解性与多项式方程根式可解之间的联系。直观地说，就是当向基域F(这个基域要求含有本原n次单位根ω)中加入一个根式后，f的Galois群G要么不变，(这相当于加入的根式对解方程的根没有什么帮助)，要么变成G的一个正规子群N(相当于这个根式在f的根的表达式中出现了),且商群G/N是abel群,这是由Galois基本定理和循环扩张定理得到的。（当然也可以由Lagrange的版本，不过这时加入的是p次根式）注意循环扩张定理的条件中要求域F含有本原n次单位根。如果我们不断地加入根式，那么方程的Galois群就不断地以这种方式“减小”，如果加入若干根式以后，方程的根都含在得到的新的域K中了，那么群G应当退化为单位群{e}.也就是群G有可解群列，反之亦然。
但是这里有个问题，大家可能发现，前面要求基域F中要含有本原n次单位根，这个要求很重要，要特别指出，在特征为0的不含本原n次单位根的域上的n次扩张并没有一般的结论，除非n是素数。但是如果域F不含本原n次单位根怎么办？不要紧，把它加到F中去，在新的域扩张E(ω)/F(ω)中重复上面的讨论。事实上利用自然无理性定理，(Natural Irrationalities),有Gal(E(ω)/F(ω)) ≌ Gal(K/K∩F(ω))，注意Gal(K/K∩F(ω))是群G的正规子群，而且对应的商群是交换群(Z/nZ)*的子群。所以Gal(E(ω)/F(ω))的可解性与G的可解性是等价的。
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