代数拓扑学

　　

　　 拓扑学中主要依赖代数工具来解决问题的一个分支。同调与同伦的理论是代数拓扑学的两大支柱（见同调论，同伦论）。
　　 在同调理论研究领域里,自（J.-）H.庞加莱首先建立可剖分空间的同调之后，人们试图对于不一定可剖分为复形的一般拓扑空间建立同调理论。后来出现了好几种关于一般空间的同调论。为了达到统一与简化的目的，S.艾伦伯格与N.E.斯廷罗德在40年代中期倡导用公理法来引进同调群。有了这种观点，不仅仅使人们对古典的同调论看得更清楚，同时也为广义同调论的兴起创造了条件。
　　 广义同调论满足除开维数公理之外的所有艾伦伯格－斯廷罗德同调论公理。具有各自几何背景的各种广义同调论的出现大大开拓了代数拓扑的领域，提高了用代数方法解决几何问题的能力。广义同调的表示定理表明可以在同伦概念的基础上来建立同调论。目前，重要的广义同调论有K上同调,协边上同调，MU上同调，BP上同调，等等。
　　 不论同伦或同调，从几何向代数的过渡总是由函子来实现的。范畴与函子的理论，首先由代数拓扑的需要而产生,现在已在许多数学分支有广泛的应用。无论同伦或同调，都是对每个拓扑空间X 对应了一个群F(X)，对每一个连续映射?:X →Y 对应了一个同态F(?):F(X)→F(Y)，且满足：①当X=Y，?=恒等自映射时，F(?)=恒等自同构。②若g:Y→Z,则F(g?)=F(g)F(?)。作为用这种函子性质解决拓扑问题的一个例子，考虑?:X →Y 为同胚的情形，这时F(?-1)与F(?)互为逆同态，从而F(?)：F(X)→F(Y)为同构。证明两个空间X与Y不同胚的一个常用的办法就是找出一个适当的函子F,使得F(X)不同构于F(Y)。拓扑不变量往往也就是这种函子。
　　同调与同伦是实质上不同的概念，这从简单的例子就可以看出来。在具有一个圆洞的环面的图中，设F 是将环面挖一个圆洞所得的曲面。则边界圆周C 在曲面 F上是同调于0的一维闭链。但C 看作F上的环道则不同伦于0。人们很早就知道,不一定可交换的基本群交换化之后就同构于一维同调群。对于同调与同伦之间关系进行深入探讨的结果促使同调代数迅速地向前发展起来。这一整套强有力的工具不仅对代数拓扑本身产生巨大影响，也深深地渗入到其他数学分支，如代数、代数几何、泛函分析、微分方程、复分析等等。
　　 与同调对偶的上同调在许多场合用起来比同调更为得力，这是H.惠特尼在30年代的发现。S.莱夫谢茨对流形上的同调交截理论所作的深入研究启发人们想到上同调乘积的存在。N.E.斯廷罗德在继H.霍普夫之后研究有限复形K 到球面Sn的连续映射同伦分类问题时发现了一类上同调运算。上同调群配以上同调运算使得对应于几何对象的代数对象有更为丰富的结构，从而解决问题的能力也更强。
　　 代数拓扑学者从来注重计算具体空间的同调群、上同调群、上同调运算等等。李群以及与之有关的空间是首先被考虑的对象。这种计算在很大程度上依赖于纤维丛或纤维空间的底空间,纤维与全空间的同调关系。1946年，J.勒雷用谱序列对纤维空间的同调计算得到深刻的结果。
　　 紧接着有J.P.塞尔应用纤维空间的同调谱序列在同伦论上的突破,得到当时几乎难以想象的结果：πq(Sn)除开q=n以及q=2n-1,n为偶数的情形,都是有限群。塞尔的另一个重要贡献是将代数里一个行之有效的原理移植到拓扑学中来，即通过对一个问题的各个p局部化（p为素数）问题的解决来求得原问题的整体解决。经过D.P.沙利文的进一步系统的研究，目前这种局部化以及完备化的思想在代数拓扑里已经成为一个带根本性的原理。
　　 拓扑空间如果具有连续的乘法以及关于这个乘法的单位元素就叫作H 空间。李群是H 空间的特例。对于H 空间的同调与同伦性质的研究取得了许多有意义的结果，丰富了代数拓扑的内容。
　　 欧氏空间Rn，当n=2,4,8时可以定义乘法·, 满足关系‖x·y‖=‖x‖‖y‖，这里‖‖表示Rn的范数；