代数数论

　　数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。
　　代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P.de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程xn+yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明，由于地方太小而未写下。可是直到现在，三百多年来经过许多数学家的努力，这个“大定理”还没有能够得到证明。
　　容易看出，这个结果的证明，可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果，但始终没有得到一个一般的证明。
E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根代数数论把方程 xn+yn=zn写成代数数论,他以为在分圆域代数数论中，“整数”也象普通整数一样，可以惟一地分解成素数的乘积。在这个前提下，库默尔给出费马大定理的证明。不久，他自己发现他的假定是错误的，即在分圆域中，“整数”分解成素数的乘积不具有惟一性。这个发现使库默尔引入“理想数”的概念,他随之证明了,每个“理想数”可以惟一地分解成素因子的乘积，因而就建立了分圆域上的数论。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，为代数数论奠定了基础。
C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。
　　有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域，K 对Q 的次数n=【K:Q】就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式

代数数论(1)

的根。因为乘一非零整数后，多项式的根不变，所以不妨假定(1)是整系数多项式。如果K 中元素α使一个首项系数为1（即α0=1）的整系数多项式(1)为零,那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法：

代数数论

即由A、B中元素之积的有限和组成的集合，显然，AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明，在代数整数环OK中,每个非零理想A都可以惟一地分解成素理想的乘积,即A=P1P2…Pt，其中Pi(i=1,2,…,t)是素理想。在通常的整数环Z中,每个理想都是由一非负整数的倍数所组成，因之，非零理想与正整数是一一对应的。由此可见，关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。
　　OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以惟一地表成素理想方幂的乘积代数数论这个群称为K的理想群，记为IK。
　　环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群，记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的:

代数数论,　 (2)

其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想，代数数论 CK称为K的理想类群,其元素是理想类。按定义IK，中两个理想A、B属于同一类,当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是:CK为一有限阿贝尔群,hK=|CK|称为K的类数。当hK=1，即每个理想都是主理想，OK为一主理想环，从而因子分解惟一性定理成立。在一定意义上，理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在，类群结构的研究与类数的计算，始终是代数数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的，近年来一个值得注意的进展是：A.贝克和H.M.斯塔尔克各自独立地于1966年和1967年确定出类数是 1的全部虚二次域代数数论它们分别是d=1，2，3，7，11,19,43,67，163等9个。
　　正合列（2）的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数，2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。
　　整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律，是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。
　　设L是代数数域K上的一个l次扩张，L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL，显然,代数数论且OL为OK的一个有限生成模。
　　如果OL是OK上一自由模（秩一定是l）,那么在OL中就有l个元素r1，r2，…，rl构成OL的一组基,即代数数论代数数论这样的元素组r1,r2,…，rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时,由主理想环上有限生成模的结构定理可知,OL对于OK一定有整基。特别地,代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。在一般的情况下，整基不一定存在。
　　设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解

代数数论　　　(3)

因为代数整数环是戴德金环，素理想都是极大理想，即代数整数环对于素理想的商环是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,…,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令代数数论它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有

代数数论　　　(4)

如果在(3)中有某个ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除，就说P 在L 中分歧,而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就称为K 的一个非分歧扩张。
　　判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,…,vl，可知det│Tr（vi,vj）│＝0的充分必要条件是v1，v2,…,vl，在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1，v2，…，vl，作代数数论对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1，v2，…，vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K),它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧,当且仅当P｜Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多个，且L为非分歧扩张的充分必要条件是：Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明,有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。
　　在L中定义C＝{v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一个理想，称为L对于K 的差积。可以证明，OL中素理想Q在K上分歧，当且仅当Q｜δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。
　　研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系，是代数数论的一个重要的方面。
　　设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g（L/K）是伽罗瓦群。可以证明，在分解式（3）中,素理想Q1，Q2，…,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的，因而有代数数论代数数论代数数论即对于OK中素理想P有代数数论代数数论且Q1,Q2，…,Qg有相同的剩余次数?。公式(4) 就成为l=e?g。 令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群，即代数数论代数数论，显然【g:D1】=g，|D1|=e?。令 岧=OL/Q1，噖 =OK/P，于是D1中每个元素诱导出岧/噖 的一个自同构。可以证明，代数数论是一满同态。令K1为这个同态的核，显然，【D1:K1】=?，│K1│=e，D1称为Q1的分解群，K1称为Q1的惰性群。对Qi相应地有子群Di与Ki, 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时,代数数论代数数论(因噖、岧是有限域)。由伽罗瓦基本定理，相应地有一串域代数数论代数数论是L的一个最大的域,P 在其中不分歧。当P 分歧时，群K1还可进一步细分，即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论，称为希尔伯特分歧理论。
　　对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。