定义 如果令F是一个域，集合g称为F上的一个李代数是指:①g是F上一个向量空间。②g带有一个二元运算，称为换位运算,即对于任意X,Y∈g，有g中惟一确定的元素(记为【X,Y】)与之对应。③ 满足下列三条件即对于任意α、b∈F,X,Y,Z∈g,有【αX+bY,Z】=α【X,Z】+b【Y，Z】，【X,αY+bZ】=α【X，Y】+ b【X，Z】；【X，X】=0；【【X,Y】,Z】+【【Y,Z】，X】+【【Z,X】,Y】=0（雅可比恒等式）。
李代数g作为F上向量空间,它的维数称为李代数g的维数。
由③中的前两个条件可推出，对于任意X，Y∈g，有【X,Y】=-【Y,X】；反之,当F的特征不为2时可由此式推出③中的第二个条件。
设g是域F上一个向量空间,在g中定义换位运算：对于X,Y∈g，令【X,Y】=0，则g作成一个李代数，称为交换（或阿贝尔）李代数。
在R3={(x1,x2,x3)｜xi∈R,R 是实数域，i=1, 2，3}中, 设
则R3作成R上一个李代数。 令V 是域F上一个向量空间。可知V的一切线性变换作成F上一个向量空间，设?、g是V的线性变换,令?g表示?与g的合成,并定义【?,g】=?g-g?，直接验证可知，V的全体线性变换所组成的向量空间，对于这样定义的换位运算,作成F上一个李代数。这个李代数称为全线性李代数，记作g
(V)。 类似地,域F上全体n×n矩阵所组成的向量空间，对于换位运算【A,B】=AB-BA（A、B是n×n矩阵）,作成F上一个李代数，并称之为F上全阵李代数，记作g
(n,F)。 更一般地,设U是域F上一个结合代数。对于α、b∈U定义【α,b】=αb-bα，则U作成F上一个李代数。
子代数、理想、商代数、同态 令g是域F上一个李代数，α、b是g的子空间。记【α,b】=｛Σ【A,B】(有限和)│A∈α,B∈b ｝，则【α, b】是g的一个子空间。设α是g的一个子空间。如果【α, α】嶅α，那么就称α是g的一个子代数;如果【α, g】嶅α,那么α就称为g的一个理想。由于【α,g】=【g,α】，因此李代数的理想都是双边的。如果α是g的一个理想，在商空间g/α里，定义【X+α,Y+α】=【X,Y】+α，那么g/α作成F上一个李代数,称为g模α的商代数。
设g1、g2是域F上李代数。?:g1→g2是一个线性映射。如果对于X、Y∈g,?(【X,Y】)=【?(X), ?(Y)】，那么?就称为一个同态映射。如果?还是一个双射，那么就称?是一个同构映射,这时g1与g2就称为同构,记作g1≌g2。设?:g1→g2是一个同态映射，则 Im ?=?(g1)是g2的一个子代数,而Ker?＝?-1(0)是g1的一个理想，并且?导出一个同构g1/Ker ?≌Im ?。
设V是域F上一个n维向量空间。通过取定V的一个基，可以在全线性李代数g
（V）与全阵李代数 g
(n, F)之间建立同构，因而常把这两个李代数看成是一样的。g
(n,F)（或g
(V)）的子代数称为线性李代数。一些重要的线性李代数如下： t(n,F)={(αij)｜(αij)∈g
(n,F)，αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩阵所组成的集合。 n(n,F)={(αij)｜(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n}，即主对角线上元素都是0的 n×n上三角形矩阵所组成的集合。 容易验证,t(n,F)和n(n,F)都是g
(n,F)的子代数。 域F上一切迹是0(即主对角线上元素的和等于0)的n×n 矩阵,作成g
(n,F)的一个理想,记作s
(n,F)。当F是复数域，而n=l+1(l≥1)时，这个李代数通常记作Al，称为特殊线性李代数。 取定域F上一个n×n对称或反对称矩阵M。 令g={X∈g
(n,F)| tXM+MX =0}(tX表示X的转置), 则g是g
(n,F)的子代数。现设F是复数域，M是一个非退化对称矩阵，于是M与以下两个矩阵之一合同：当n=2l+1，
；
。
(V)的一个子代数。如果g的元素都是V的幂零线性变换, 那么存在V的一个非零向量v，使得对于每一个X∈g都有X·v=0，因此，适当选取V的基，并且将g
(V)与g
(n,F)看成一样的,就有g嶅n(n,F)。 
(V)的一个可解子代数，则存在V 的一个非零向量v，使得对于每一X ∈g都有Xv＝φ(X)v，φ(X)∈F。因此适当选取V的基可以使得g嶅t(n，F)。 
(V)，称为g在V上的一个线性表示,简称表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时,取定V的一个基，将g
(V)与g
(n,F)看成一样,于是就得到一个李代数同态ρ: g→g
(n,F)，仍记作ρ,称为g的一个矩阵表示。如果g的一个表示ρ是单射，那么就称(ρ,V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实表示。 
(g)的一个同态映射(利用雅可比恒等式很容易验证)。因此，(ad,g)是g的一个表示。表示空间就是g本身，称为g的伴随表示。 
称为一个嘉当子代数，是指
是幂零子代数，且
与它在g内的正规化子
相重合。 
是嘉当子代数，必要而且只要
是具有以下两个性质的极大子代数：① 
是交换的；② 对于
的每一个元素h,adh是g上一个可对角化的线性变换。g一定有嘉当子代数，并且g的任意两个嘉当子代数都可以通过g的一个内自同构将其中一个变成另一个。 
。设dim
=l，并称为g的秩。令
*是
的对偶空间(即
上一切线性函数所成的空间)。设 α∈
*,令
，对一切h ∈
},则gα是g的子空间,并且g0={X∈g｜【h,X】=0，对一切h∈
}=
。如果α≠0且gα≠{0},那么就称α是g关于
的一个根，而
α称为属于根α的根子空间。令墹表示g关于
的根全体,称为g关于
的根系,那么g可以分解成子空间的直和:
，其中每一个根子空间 gα都是一维的。这种分解（在同构意义下）不依赖于
的选取。 
上的限制是非退化的，因而对于
*中每一元素λ,存在惟一的元素hλ∈
,使得λ(h)=k(hλ, h)对于一切h∈
成立。因而就有一个同构
*→
,使得 λ
hλ。于是k在
*上诱导出一个非退化对称双线性型
,对一切λ、μ∈
*。 
的根系。墹的一个子集
称为墹的一个基础系,是指墹的每一元素 α可以惟一地表成
的整系数线性组合：
是整数,并且要么都≥0,要么都≤0。墹的一个基础系所含的根的个数等于g的秩l，因而作成
的一个基。g是单的，当且仅当基础系Ⅱ不能分解成两个不相交的非空子集Ⅱ1与Ⅱ2的并集，并且对于任意α∈Ⅱ1和β∈Ⅱ2，都有(α,β)=0。 
，这时g称为g0的复化。设g0是g的一个实型,于是g0总可以看成g的一个实子代数，并且
。g的一个实型gu称为紧的,是指g的基灵型在gu上的限制是负定的。一个复半单李代数g（在同构意义下）只有惟一的紧实型，然而可以有若干互不同构的非紧实型。一个实李代数g0是半单（或单）的,当且仅当它的复化是半单（或单）的。实单李代数的分类问题与不可约对称黎曼空间的分类问题是密切相关的。这个问题也已完全解决。 
的基，而墹是g关于
的根系，Eα∈gα，α∈墹,具有以下性质:①α(hi),i=1，2,…,l，α∈墹都是整数；②
;③如果α、β及α+β都是根，那么 
,
是整数且
。这样的一个基称为g的一个谢瓦莱基。取定g的一个谢瓦莱基,于是
是整数环Z上一个李代数。令
,于是gR是g的一个实型而 
是g
的一个嘉当子代数，并且adh(h∈
)在 g
上的特征值都是实数。这样一个实型称为g的正规实型。一个复半单李代数g的正规实型是彼此共轭的(即在g的内自同构作用下是传递的)。 
就是K上一个李代数。当K是一个特征为p>0的代数闭域时，通过这种途径得到的gK记作
。那么与复单李代数相对应,就得到K 上李代数 
。这些李代数，除了┯l在l+1呏0(modp)的情形外,也都是单的，然而和特征为0的情形不同,这些李代数远远没有穷尽特征为p>0的代数闭域上的单李代数。K上另一类重要的李代数是所谓嘉当型李代数。这种李代数与é.嘉当的伪群中所产生的无限维单李代数极其类似。这种李代数分成四类，通常分别记为 Wn、Sn、hn和Kn，其中Wn是单的,而其他三类也很接近于单的。