陈希孺院士赠言:学好数学重在多做习题

注:陈希孺,中国科学院院士,博士生导师,现在中国科大研究生院工作。我国著名的数学系理统计学家。现任中国现场统计研究会理事长,同时担任中国统计学会副会长,国家技术监督局所属的全国统计方法应用技术标准化委员会委员,兼第一分委员会主任。

学习物理、化学、生物这类实证科学,离不开实验。数学好像没有实验。其实不然,数学的实验就是习题。如果说学好数学有什么经验,那么多做习题就是最重要的一条。

数学习题大体上可分为两类:一类属于“复习”的性质,大都比较容易,其目的是帮助学习者温习教材内容——公式、定理、方法等。中学阶段布置的作业大都属于这一类;另一类我称之为“研究”型的,难度比较大。解决这类问题,除要求对教材内容有切实的掌握外,还要求能灵活运用,甚至有别出心裁的想法。这类题在参考书中较多。

做习题,二者不能偏废。或更确切地说,第一类题是一个初级阶段,不能跨越,但不能止于此。要学好数学,必须经历大量的第二类习题的训练,才能收到登堂入室的功效。

有的学生不理解这一层意思,觉得花那么多时间去想一些较难的题,是否有用和值得,有的有畏难情绪。这属于意志问题。人容易产生惰性,它使人倾向于避难就易,不克服这种惰性,事业难望有成。不论学习什么,入门容易,精通很难。好比切菜,人人都会,但要练出一手好的刀工,则非有多年的努力不可。

我国老一辈的数学大师都非常重视这方面的训练,他们深厚的学术根底与杰出的科研成就,得力于在这方面所下的工夫。如现任复旦大学名誉校长的苏步青院士有一个故事:抗战时他在重庆,敌机常来轰炸。为了避免躲防空洞浪费时间,就利用这时间作习题。几年下来,做了上万道题。华罗庚院士也是靠自学成才,成为一代宗师的。他早年学习数学时,不是把一本书的定理公式都看懂了就算完事,而是要自己亲自“做”一遍。他常说:人家在没有这个定理时还能发现它,现在如果已摆在面前,你还做不出,那岂不是愧对前人,又怎能谈到超越前人,有所创新呢? 对于多做习题对学好数学的重要性。

我个人也有一点经验和教训。在中学时代,课程不重,我生性又偏好逻辑思维方面的东西,因此课余的大量时间,都花在阅读数学方面的参考书上(尤其是其中有大量较难的习题)。我也做过大量的题,这使我获益匪浅。因此我的数学成绩在中学时代一直名列前茅。上大学后,我这方面的努力放松了。我把时间主要花在读书上,觉得读书能增长新知识。就这样,中学时代好做习题的习惯丢掉了不少。大学毕业工作后,逐渐显示了自己由于大学阶段忽视做习题而带来的后果。表现在碰到问题时办法少,克服难点的能力弱。这其中的根源,就在于因少做习题而使所学的东西流于表面,未能融会贯通,不能为己所用。意识到这一点以后,我进行了一些“补课”:即选择几本权威著作,把其中的习题做一遍——共写了十多个本子。这些本子至今还留着,有的还曾出版。后来我在学习的理论研究领域里能取得一些微小的成绩,部分与此有关。

做习题是一件费时和费脑力的事,不易坚持。首先要解决两个问题:一是有足够的时间。这需要养成爱惜光阴的习惯,不把时间浪费在一些无益的事情上;二是不断增进对这个问题的认识,把做习题由一种负担转变为一种乐趣。正如古人所说:知之者不如好之者,好之者不如乐之者。当然,这个境界的达到,也是从实际的努力中得来的。

另外,做习题和阅读参考书,二者不可偏废,实际上,大多数好的习题多来自各种参考书。好的参考书对教材中因时间关系没有讲透的方法,通过例子加以介绍,很有启发性,多读这类好书,对提高自己解题的能力大有帮助。

做课外习题是一种课外自我提高的形式,不能急于求成,要有“细水长流”的打算。有的难题,一时做不出来,不要轻易放弃,但也不要固着在这一点上。我自己有过这种经验:做一个题,一时做不出,放下来过一段时间再从另外途径想一想,几经周折,有经过几个月终于解决了的,当时感觉好像成就了一件大事,就如经过艰苦努力,终于爬上了一座山峰。这种经历也会大大提高学习的兴趣。

要学好数学,值得注意的方面很多,我只就“多做习题”这一点谈谈自己的看法。经验大多是老生常谈,贵在实行,贵在坚持,就以此语赠给爱好数学的青年朋友们。