第五章 孤立波

第一节 历史回顾

1. 一个奇特的水波

相传约170年以前，1834年的一天，在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上，一位苏格兰海军工程师罗素(J.Scott Russell)观察到一种奇特的水波。在1844年发表的一份报告中，他描述了当年观察到的这种奇特水波，并称这种波为孤立波(Solitary wave)。他是这样描述的：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进，在行进过程中其形状与速度没有明显变化。我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约30英尺(1英尺＝25.4厘米)长，1-1.5英尺高的浪头，约以每小时8-9英里的速度前进。后来它的高度逐渐减低，经过约一英里(1英里＝1.609千米)的追逐后，在运河的拐弯处消失了”。

为了探究上述的水波鼓包到底是一种什么样的现象，随后，罗素在水槽的一端用一重锤垂落入水中，对重锤激起的水浪的运动情况进行了反复的观察，如图5-1所示。他发现这种水浪与运河中出现的奇特水波是本相同。通过实验，他还总结出水波的移动速度v、水的深度d及水波幅度A之间的关系：

B为一某比例常数。这实验结果说明，水波的运动速度与波幅的高度有关，波幅高的速度较快，且波幅的宽度对高度之比也相对较窄。

图5-1 罗素在浅水槽中做的水波实验

然而罗素当年未能从流体力学出发给孤立波以合理的理论解释，因此没有引起人们的充分重视。直到半个世纪以后，即1895年，两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯(de Vries)才对浅水槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析，得到了比较满意的解释。他们认为，这种现象是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果。他们建立了以他们姓名的首写字母命名的方程，即KdV方程。KdV方程的形式如下：

式中，u为相对于静止水面的高度，即波幅。

KdV方程是一个非线性的偏微分方程，求解很难。为了求解KdV方程的孤立波解，可以只找与相关的行波解，这里v为波速，于是偏微分方程化为的一个常微分方程，得解：

，其图象与观察到的孤立波形状相同。

但是此后孤立波现象的研究与KdV方程又被默默地遗忘了几十年。掀起这一邻域研究热潮的应归功于乌莱姆(S.Ulam)。1955年，在乌莱姆领导的美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆数值计算了用非线性弹簧联结的64个质点组成的弦的振动，目的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分定理。他们对少数质点进行激发，按照能量均分原理，由于弱的非线性相互作用，经长时间以后，初始的激发能量应有涨落地均衡的分布到每个质点。然而计算结果令人意外，长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波。这就是著名的FPU问题。1965年，美国数学家采布斯基(Zabusky)与克鲁思卡尔(Kruskal)，把FPU的非线性振子系统的能量不均分问题与KdV方程联系了起来。此后人们发现，在许多物理体系中都存在KdV方程，说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。于是KdV方程被看作为数学物理的一个基本方程。此后人们又进一步发现，除KdV方程外，其它的一些偏微分方程也有孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展开来了。

由此可见，孤立波是既是一种特殊的，又是不难见到的波动现象，它被称为自然界里的相干结构(coherent structure，或称拟序结构)，即一种有序结构。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有序结构。从运动形态上讲，相干结构与混沌运动既是相互对立的，但又是具有内在联系的两种非线性现象。混沌运动所呈现的是非线性中奇妙的无序状态，相干结构则反映了非线性系统中的惊人有序性。从尺度上讲，相干结构可以小到原于尺寸，大到天文范围。木星上巨型红斑的尺寸大达4×10⁸米，相当于地球与月亮之间的距离，图5-2就是上世纪70年代由旅行者1号拍摄到的一幅木星上的巨型红斑照片。七十年代，从“阿波罗—联盟号”宇宙飞船上拍摄到的出现在泰国安达曼海面上的孤立波照片，照片上显示出五条几乎平行的直线表面波的波包，每一条大约150公里宽，两个波包相互间大约相距10公里；罗素所观察到的水面上孤立水波的尺寸在1米量级，而在二硫化钽晶体中所呈现的电菏密度孤立波，其尺度仅约米。

图5-2 木星上的巨型红斑照片

2. 孤立波与孤立子

遵循着FPU问题的思路，采布斯基与克鲁思卡尔还采用数值模拟的方法，用计算计机又计算了两个具有不同速度孤立波前后追逐中发生的现象。设有同向行进两个孤立波，波幅较高在后的孤立波，逐渐赶上前面幅度较低的孤立波，于是两个孤立波的相遇了。令人惊奇的是两个孤立波相遇后，又能很好地分离开来继续前进，而原来的波包形状没有发生大的变化。图5-3给出了两个计算出的孤立子随时间演化的情况。图( i )是时间t = －0.5，两个高低不等同向行进的孤立子，高的在后，但速度较快；图( ii )是时间t = －0.1，幅度较高的孤立子逐渐赶上幅度较低的孤立子；图( iii )是时间t = 0，两个孤立子到达同一位置；图( iv )是时间t = 0.1，幅度较大的孤立子开始超过幅度较小的孤立子；图( v )是时间t = 0.5，幅度较大的已超过幅度较小的，于是两个孤立子分离开来了。

图5-3 两个KdV孤立子的碰撞过程

这个计算结果说明两个孤立波的相遇具有类似于物质粒子之间的碰撞特性，称为孤立波碰撞。说明孤立波具有非常独特的稳定性。为了强调孤立波的这种碰撞特性，采布斯基和克鲁思卡尔将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子”或称“孤子”(soliton)。事实上，并非所有的孤立波都具有这种稳定的碰撞特性，人们只把具有这种碰撞稳定性的孤立波称之为“孤立子”。

从物理本本质上讲，孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子。这种准粒子具有一切粒予所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，它门也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守恒定律。另一方面，它又有自身的特征—波动性，在一切可以出现波动的介质里，在一定条件下都可存在。除上面介绍的浅水层外，在水层深处、固体介质、电磁场、等离子体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波，它既可以以速度v在空间传播。又可以处于静止状态，成为非传播的孤粒子。与量子力学所描述的微观粒子相比，孤立子遵循经典运动规律，服从牛顿运动方程或哈密顿运动方程。所以孤立子是一种新型的准粒子，它是本世纪物理学中提出的一个重要的新概念。

由于对孤立子的研究具有十分重要的理论与应用价值，因此越来越受到各国的科学界的重视。目前，在理论上和实验上已对孤立波巳作了大量的研究。并巳有了明确的定义。通常在数学上把具有下列性质的非线性方程的解称为孤立波解：

①向单方向传播的行波；

②分布在空间的一个小区域中；

③波动形状不随时间演变而发生变化；

④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。

现在已经知道一系列非线性偏微分方程存在孤立波解，其中最有代表性的有四类方程：

(1)KdV方程

(2)正弦—高登(Sine-Gordon)方程

(3)户田(M.Toda)非线性晶格方程

(4)非线性薛定谔方程(NLSE)。

至于孤立波的形状，象水面上的鼓包形状只是其中一种，除此以外还有几种另外的形状。图5-4给出了有代表性的四种类型：( i )波包型，(ii)凹陷型，(iii)扭结型，(iv)反扭结型。( i )、(ii)两种是在，；(iii)、(iv)两种是在，趋近于不同的数值。

图5-4 四种孤立子类型

第二节 KdV方程

1. 波动中的非线性会聚效应

其实，波动中的会聚现象在生活中并非罕见。微风吹拂，水面只掀起层层碎浪；劲风吹来，浪尖则卷起浪花。这就是一种非线性会聚效应。这是因为在劲风的推动下，在水浪的不同高度上有不同的前进速度。同样的情况可以出现在海滩边。远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海岸不远处卷起了浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，海浪的较低部分受到的阻滞力较大，较高的部分阻滞力较小。由此可见，当一个水浪的不同部分有不同的行进速度时，将会出现会聚效应。特别是当水浪高处前进速度大，低处前进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，于是在某一时刻波前出现坍塌，卷起了浪花，如图5-5所示。

图5-5 水浪在行进中波前逐渐变陡，最终波形出现坍塌并卷起了浪花

现在用一个简单的数学模型来说明波动中的会聚现象。已知介质中的波动是一种随时间传播的扰动。设波动介质是由相互间没有作用的粒子组成的。为简单起见我们研究一维情况，设在时刻t，介质中x处的粒子密度为。由于粒子既不会产生，也不会消灭，所以有：

(5-2-1)

将式(5-2-1)写成全微分：

(5-2-2)

由于为粒子的移动速度，因此式(5-2-2)可以写为：

(5-2-3)

在一般情况下速度v是坐标与时间的复杂函数。然而，如果速度v = v₀是常数，这是线性情况，则式(5-2-3)具有行波解：

这时介质的移动速度v₀也就是波速。在初始时刻介质中出现的扰动，即波动

(5-2-4)

将在传播中保持不变。波动将以速度v₀无畸变地沿x方向前进。然而在非线性的情况下，式(5-2-3)的解将是很复杂的。例如，波动的速度v可能与介质的密度n有关，即：。在这种情况下，一次近似具有下面形式：

(5-2-5)

由此可见，方程(5-2-5所描写的行波，波的各部分将具有不同的运动速度，特别是当

时，波速随密度增大而增大。因此可以想象，随着波的传播，波包的前沿会越来越陡，意味着形成了某种会聚效应。随着行进中波包前沿越来越前倾，于是在某个时刻会发生类似于图5-4所示的波形坍塌现象。

2. 波动中的色散

波动在传播中往往存在色散现象。我们知道，一束平面单色波与一列正弦波相对应。一个频率为沿x方向传播的平面波可以表示为：

(5-2-6)

式中，为波长，在多维的情况下应写成矢量k，矢量指向代表波的传播方向，故称为波矢，也称传播常数。平面波(5-2-6)的等相位面由下式给出：

由得等相位面的运动速度，即相速v：

(5-2-7)

它代表了一列平面波的传播速度。

一个线性微分方程

(5-2-8)

它具有平面波解。将式(5-2-6)代入方程(5-2-8)可得

(5-2-9)

由此得：

或

(5-2-10)

因为m是可以任意设定的常数，所以满足(5-2-8)方程的平面波解有许多个。根据波的叠加原理，方程(5-2-8)的通解，可以把具有不同波矢的许多平面波（谐波）叠加起来构成。式(5-2-10)称色散关系，显然≠常数，说明了不同k值（从而ω值也不同）的平面波有不同的相速。

一个波动（或称波包）的移动速度是由群速度决定的。由式(5-2-10)得波的群速度：

(5-2-11)

因此，具有不同k值的波(群)，将具有不同的群速度。不同波数的各个子平面波以不同的群速度传播，所以方程(5-2-8)通解所描述的波动，在它运动时将改变它的形状并弥散开来。于是，初始时刻出现的波包，会随时间的推移而发生变化，波包发生弥散，以至在某个时刻波包完全消失。

因此，如果一个波动的所有谐波都以同一的速度行进，=常数，就是非色散波；反之，如果每个谐波都有不同的行进速度，≠常数，就是色散波。

附带说一下，线性波动方程(5-2-8)与色散关系(5-2-9)之间存在着对应关系。实际上对于平面波解(5-2-6)，我们发现有下述的对应

于是便可以在波动方程与色散关系之间建立直接的对应。知道了这样的对应关系，我们可以有色散关系直接构造出方程来，反之亦然。例如，如果有色散关系

则波动方程为：

3. KdV方程

如上所述，一个线性波动由于在介质中传播时既存在色散，所以该波动是不种稳定的。只有当在波动中存在非线性的会聚时，如果色散与会聚两种作用出现某种平衡，才会出现波形稳定的孤立波。在KdV方程中正是同时存在了这两种效应。

KdV方程的推导过程是很复杂的，全面地介绍过于冗长，这里采用一种简化模型以了解一下KdV方程的推导思路。首先，对于不可压缩介质，式(5-2-3)所表示的粒子随时间与坐标变化关系中，粒子数密度n应可以用粒子速度v来替代，即有

(5-2-13)

现在考虑水面波动的色散关系，可以证明，忽略表面张力，在重力作用下水波的色散关系为：

(5-2-14)

式中g为重力加速度，h为水的深度。对式(5-2-14)进行级数展开，并略去高次项后有：

(5-2-15)

式中

，

与色散关系(5-2-15)对应的方程为

(5-2-16)

现在将导致波形坍塌的非线性效应的方程(5-2-13)与色散效应的方程包含到一个方程中，就得到KdV方程

(5-2-17)

4. KdV方程的孤立波解

设方程(5-2-17)有如下形式的解：

(5-2-18)

将式(5-2-18)代入式(5-2-17)，得到以为时间变量的方程：

整理后

(5-2-19)

这里，。将方程(5-2-19)对进行一次积分，得：

用微分的简写形式来表示，即对一次微分写为u’，二次微分写为u” 等等。对上式乘以u’，再进行一次积分得

(5-2-20)

积分常数可以看成为体系的哈密顿量。方程(5-2-20)进一步可以写成为

(5-2-21)

其中第一项为动能，第二项为势能

(5-2-22)

是一三次曲线，如图5-6所示，一般有三个零点，即，和，且，它们可用a，和C来表示。根据三次代数方程的解与系数的关系，有：＋＋=3a。设

于是将式(5-2-21)可改写为：

(5-2-23)

方程(5-2-23)可写成下述积分

(5-2-24)

是待定的积分常数。

图5-6 曲线

为了保证有实数解，要求(5-2-24)积分号中的根号内为正值。在区间[]内为负；在区间[]或[]内随u是单调变化的，也就是无界的；无界，u将随(或)而趋于无界，因此我们只能考虑区间[]内的积分。

引入代换：

式(5-2-24)变为

(5-2-25)

式中，为椭圆函数的模数。设

所以

(5-2-26)

这是KdV方程的椭圆余弦波解。波的周期为

所以的周期为

这样是空间周期为L的一列行波，如图5-7所示。由于它不具有局域性质，所以它不是孤立波。

图5-7 KdV方程的椭圆余弦波解

当椭圆函数的模数，即时(图5-8a)，椭圆余弦函数演变为三角余弦函数，于是解(5-2-26)化为

(5-2-27)

这是振幅十分小的余弦波解，它是由于幅度很小的非线性项可以忽略的结果。

当椭圆函数的模数，即时(图5-8b)，椭圆余弦函数演变为双曲正割函数，于是解(5-2-26)化为

(5-2-28)

图5-8 两个零点趋近时的曲线

当中的常数时，，()，当时，u,u’,u” 都趋于0，解(5-2-28)变为

(5-2-29)

解(5-2-29)的图象如图5-9所示，它就是早年罗素观察到的水面上的奇特水波。

图5-9 KdV方程的孤立子解

上面已经指出，孤立波是一种拟序结构，它与混沌运动是既对立，又有联系的两种非线性现象。孤立波与混沌运动的联系可以从如下的相图分析中看出。

KdV方程的势能函数中，当势能的零点时，椭圆函数的模数，可获得KdV方程的的孤立波解。

将方程(5-2-21)化为两个一阶方程，即：

(5-2-30)

利用相图分析方法，可以在[u,v]相平面上画出相图。由式(5-2-22)给出的势能曲线如图5-10所示。式(5-2-30)的雅可比矩阵为

特征值l满足：

如图所示，对于的极小点，，为实部为零的共轭复根，因而是中心点，围绕中心点的相轨线为椭圆。对于的极大点，，为符号不同的实根，因而是鞍点，如图5-10b。我们看到，因为该方程只有一个鞍点，因此如果沿着一条流形出发，在绕了一圈之后最终又回到了鞍点。这种从鞍点出发又回到原来鞍点的流形称为同宿线。由此可见KdV方程的孤立波解是与相平面上的同宿线相联系的。

图5-10 KdV方程的势能曲线与相图

第三节 正弦—高登方程

1一维原子链与正弦—高登(sine-Gordon)方程

正弦—高登方程可从外场中的一维原子链模型导出，这是一串周期地束缚在长长的弹簧上的原子，如图5-11所示。

图5-11 一维原子链(a)与外势场(b)

在外场中，原子链的哈密顿可以写成：

(5-3-1)

式中，m为原子的质量，为第k个原子的坐标。式(5-3-1)的右边第一项为原子的动能，为原子间的相互作用势，它与原子间的距离有关。为外场中的势能，因为原子是周期地排列的，所以具有周期性：

式中为周期。为简单起见，设原子的质量为。势函数为：

这样，第k个原子的运动方程可以写为：

(5-3-2)

将上式由分离变量过渡到连续变量：

于是式(5-3-2)变为：

(5-3-3)

当时，式(5-3-3)变为：

(5-3-4)

更一般地，如果对照一下线性微分方程(5-2-8)，可以对式(5-3-4)改动一下，就构成一般常见形式的正弦-高登方程：

(5-3-5)

当和时，式(5-3-5)就变为方程(5-3-4)。

正弦—高登(sine—Gordon)方程是一个著名的完全可积的无限自由度哈密顿系统，它的初值问题可以用“逆谱变换”的分析方法精确地求解。

2. 正弦－高登方程孤立波解

与解KdV方程时相似，假定正弦-高登方程具有形式为

(5-3-6)

的行波解。代入正弦-高登方程得常微分方程

(5-3-7)

式中，

可见式(5-3-7)在形式上与非线性单摆方程相似。利用特殊函数积分公式，可得方程(5-3-7)的解析解：

(5-3-8)

式中

为椭圆函数的模数，C为积分常数。若用代换，式(5-3-8)称椭圆余弦波。现在讨论式(5-3-8)的两种特殊情况：

⑴ ()，此时，这样式(5-3-8)变为：

(5-3-9)

⑵ ()，此时，这样式(5-3-8)变为：

(5-3-10)

由双曲函数公式，式(5-3-10)化为：

即有：

或

这样可得：

或

最后得到：

(5-3-11)

式(5-3-11)给出正弦-高登方程的两个解：和，它们分别称为扭折解(kink)与反扭折解(anti-kink)，它们的图象是一种冲击波(impulse wave)的形式，如图5-12所示。对于扭折解:

图5-12 正弦Gordon方程的扭折与反扭折解

当时，；时，。反扭折解

的波形是与扭折解的波形反对称的，当时，；而当时，。

正弦—高登(sine—Gordon)方程的解可以解释许多物理学现象。例如可以用以描述表示晶格位错的传播、磁体中畴壁的运动、超导约瑟夫逊结的列阵构成的传输线，电荷密度波、基本粒于模型等。

由于式(5-3-7)具有与单摆方程类似的形式，因此我们可以采用与单摆相图类似的方法来讨论正弦高登方程的解。为此，将式(5-3-7)化成一阶微分方程组：

(5-3-12)

与单摆的情况相同，方程(5-3-12)所描述的动力学系统有两种平衡状态，如图5-13上部的相图所示。这是与单摆相图同样的相图，在相图的坐标原点 (0,0) 为一中心点，而在坐标 ()与()处为鞍点。

已知方程(5-3-7)的解析解为：

(5-3-13)

根据上文的分析，在，这样式(5-3-13)变为：

(5-3-14)

这与相图上的中心点附近的椭圆轨道相对应。在式(5-3-13)变为：

(5-3-15)

(5-3-16)

在相图上这是从鞍点()到鞍点的()的异宿线，或者相反，从鞍点()到鞍点()的异宿线。如图5-13下部的曲线所示，与异宿线的上支相对应的是扭折解波形：当时，；而当，时，。类似地，与异宿线下支相对应的是反扭折解波形。

对式(5-3-9)求导：

于是

这也是孤立波形式。

图5-13 正弦-高登方程的相图与扭折解

第四节 非线性薛定谔方程与光学孤立子

1. 光纤中的光脉冲压缩效应

与KdV方程描述的孤立子相类似，由非线性薛定谔方程描述的光纤中的光学孤立子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果。

光纤是二氧化硅为主要成分的细丝，直经在数微米至数十微米，外面做上包层和涂敷层。当光线以某一角度入射进光纤端面后，又射到线芯和包层之间的界面上，构成包层界面入射角，如图5-14所示。设线芯、包层和涂敷层的折射率分别为、、。通常＞，所以包层界面有—临界全反射角。与其相应的光纤端面有一临界入射角。如果端面入射角＜，进入端面后便以＞的角度射到界面上，满足全反射条件，光线将在光纤和包层的界面上，不断地产生全反射而向前传播。这就是光纤的导光原理。

设入射进光纤光束为强激光。人们经常把激光看成准单色光。中心频率为的准单色光在光纤中传播的表达式由下式给出：

E(x,t)＝(x,t) exp[i(x-t)] (5-4-1)

其中(x,t)为包络函数：

(x,t)＝

图5-14 光在光纤中的传播原理

在强激光作用下，光纤介质会出现非线性极化。这时的极化矢量P与光场的电场强度E的关系为：

(5-4-2)

式中、和分别称为线性的与二次、三次非线极化率。通常光纤的二次非线极化率，因此式(5-4-4)右边第二项不存在。介质的电感应矢量D与极化矢量P的关系为，忽略高次非线性效应，D可写为

由式(5-4-4)知，式中介质的介电常数，。按折射率定义，当存在非线性时，介质的折射率可以写为：

(5-4-3)

式中为介质通常的线性折射率，非线性折射系数。可见非线性介质的折射率与光波的场强有关。

由于非线性折射系数，光强为的光在通过长度为L的光纤后产生的相移为：

可见相移量与光强有关，它导致光脉冲的不同部位有不同的相移，称为自相位调制（Self-phase modulation―SPM），即光脉冲因自身光场引起的光纤折射率变化所产生的脉冲波包的相位移动。由于SPM引起相移，相应地就有频率移动：

(5-4-4)

如果将光脉冲光强随时间的变化分成前沿与后沿等不同部分，则可以发现，脉冲前、后沿产生的频率变化是不同的。对脉冲前沿来说，，；对脉冲后沿，，而。人们形象地用“啁啾”，一种小鸟鸣叫声中的音调变化，来形容这种频移沿脉冲分布的现象。正是非线性的啁啾效应，造成光脉冲在光纤中传输时产生压缩。

图5-15 光脉冲的自相位调制压缩

现在来看光脉冲的压缩的过程。我们假设介质具有负色散特性，，即波的群速随频率的升高而增加。对于一个光脉冲来说，脉冲前沿的，于是前沿的运动速度将比脉冲的中部()慢；而对脉冲后沿，，于是后沿的运动速度将比脉冲的中部快。这种脉冲前沿变慢而脉冲后沿加快传播的结果，造成脉宽变窄，这种效应称为光脉冲自相位调制压缩，如图5-15所示。

2. 非线性薛定谔方程(NLSE)及孤立波解

在线性情况下，光波的传播常数k只是频率的函数，与光强无关。将准单色光的传播常数按中心频率处展开，我们有：

为中心频率分量光波的传播常数。略去高次项后有：

(5-4-5)

式中k'为频率处的群速的倒数：

k"为频率处的色散常数：

若考虑到非线性的影响，在k的表达式中需要加进与光强相关的项，于是有：

(5-4-6)

式中，，c为真空中的光速。式(5-4-6)右边的第二项为色散项，由式(5-4-3)与(5-4-4)可知，右边最后的与场强平方项是非线性压缩项。

利用波动方程与色散关系之间的对应关系：

略去准单色光表达式(5-4-1)中波幅包络上的横线，立即可以写出强满足的方程：

(5-4-7)

式中：

式(5-4-7)即为非线性薛定谔方程(NLSE)。变换到以速度为的运动坐标系，并用表示光场：

满足NLSE方程：

(5-4-8)

采用试探解的方法求解方程(5-4-8)，取解的形式为：

(5-4-9)

式中，k、分别为光波的传播常数与频率。注意到：

将式(5-4-9)和上列各式代入式(5-4-8)，得满足：

用简化的微分符号表示：

(5-4-10)

选择参数k，使的系数为零，于是有，并设 ，这样可以把u看为实数。将式(5-4-10)改写为：

(5-4-11)

方程(5-4-11)乘以，进行一次积分得：

(5-4-12)

式中积分常数代表体系的哈密顿量。取＝0，式(5-4-12)变为：

取上式两边平方：

(5-4-13a)

或者：

(5-4-13b)

利用椭园函数积分公式：

使积分常数c = 0，由式(5-4-13)得：

(5-4-14)

式(5-4-14)是我们熟悉的孤立波波形。再回到式(5-4-9)来看，可知非线性薛锷方程的解是受孤立波脉冲u(ξ)调制的光波，如图5-16所示，即包络为孤立波的光脉冲波。

图5-16 非线性薛锷方程方程的解

如上所述，采用试探解(5-4-9)的方法求解NLSE方程(5-4-8)时，获得体系的哈密顿量H。于是式(5-4-12)可以写为：

(5-4-15)

式(5-4-15)右边第一项代表体系的动能，第二项代表体系的势能

(5-4-16)

可见势能是u的四次曲线，它有三个奇点：两个极小点和在两个极小点之间的一个极大点。在[u, u']平面相图上，与两个极小点相对应的是中心点，其邻域是椭圆轨线。与极大点相对应的是鞍点。通常有四条轨线流过鞍点，其中两条趋向鞍点，另外两条则离开鞍点。如图5-17所示，当我们沿任一条离开鞍点的轨线出发，则在绕了一圈之后又会回到了鞍点，因此这个鞍点是同宿点，相应的轨线为同宿线。NLSE方程的孤立波解正是与这样的同宿线相对应。

图6-17 NLSE的势能曲线(上)与相图(下)

3. 光学孤立子的传播特性

为了将光学孤立波应用于通信，需要考察孤立波光脉冲在光纤中传播的特点。设在 ()处对光纤输入一个双曲正割型脉冲波：

(5-4-15)

当系数A为整数N时，方程(5-4-8)具有稳定的孤立子解。N＝1称基本孤立子，其解就是式(5-4-14)，它在传播中保持着稳定不变的波形。当输入光脉冲幅度超过稳定的基本孤立子要求的幅度，这时光脉冲在传输中非线性压缩超过色散，于是光脉冲会进一步压缩，形成N≥2的高阶孤立子。高阶孤立子在传播中波形要发生周期的变化，例如，对于N＝2的二阶孤立子解，其形式为：

(5-4-16)

由式(5-4-16)可见，二阶孤立子要发生以ξ＝π/2周期的周期性波形变化。在半周期ξ＝π/4处，在孤立子主峰的两侧，各出现有一个小峰。而N＝3时的三阶孤立子在传播中的形状变化更为复杂。它在1/4与3/8周期处，变成一个两侧各有一个小峰的高大尖峰，而在半周期处，那个高大尖峰又进一步分裂为两个峰。图5-17给出了N=1,2,3时三种孤立子在传播中的形状变化。N＝1的基本孤立子就是拟在实际通信中采用的孤立波。

图5-17 N=1、2、3时的光学孤立波传播

4. 孤立子激光器

1973年，长谷川（A.Hasegawa）和塔佩尔脱（F.Tappert）两人，利用非线性薛锷方程方程，首次从理论上导出在光纤的反常色散区能够形成光学孤立子，为进行光学孤立波通信建立了理论基础。目前光学孤立子的产生主要采用两种方法：一是先由锁模激光器产生超短激光脉冲，再将其输入光纤，在光纤中产生受激拉曼散射，形成光学孤立子，因此这种方法也称为光纤拉曼孤立子激光器；二是将光纤直接接入激光器的反馈回路中成为激光器的一部分，这是人们常称的孤立子激光器。

在实验上首先观察到光纤中的孤立子的是美国贝尔电话实验室的摩伦诺尔(Mollenaure)等人。当时所用的试验装置如图5-19所示，它包括光脉冲放大与压缩两部分，因此使用了两个光学谐振腔：一个是色心激光器的谐振腔，另一个是由光纤组成的脉冲压缩谐振腔。两个腔耦合在一起，组合成一个复合的激光谐振腔。如图所示，色心激光器的谐振腔由反射镜、和组成，其中、对色心激光波长是全反镜，为可以部分透射的的半反镜。光纤的外谐振腔由反射镜、S和组成，其中S为分束镜。两腔之间的耦合靠的部分透射来完成。由于从光纤输出端输出的光束一般是发散的，通常需要通过聚焦来实现对光纤的有效耦合，透镜、就是光纤两个输出端的耦合镜。

图5-19 第一台孤立于激光器示意图

色心晶体为激光脉冲放大介质。所用的晶体为KCl：Ti，它是一种离子型晶体，其正、负离子按周期排列，当通过辐照或用其它方法使晶格出现缺位时，晶格的周期势受到破坏，于是在晶体能带的禁带中出现附加的能级。这些附加能级成为光的新吸收中心，这就是‘色心’名称的来历。色心具有较强的荧光带，有利于形成激光，由于它的荧光带又很宽，因此色心激光的波长可在一定的波长范围内调节，成为可调谐激光器。KCl：Ti晶体激光器运转在近红外区域，其调谐范围为1.4—1.6。如图所示，激光腔内的一对双折射晶体B，就是用于调谐用的。色心激光器一般通过另一激光来泵浦，在本实验中使用了波长为1.06的YAG激光器来泵浦，泵浦脉冲宽度为80ps（）,功率约为5W，色心激光的脉冲宽度为5-10ps。

孤立于激光器的工作过程是一个光脉冲的反复压缩过程。这过程如下：开始色心激光器产生一个脉宽不是很窄的激光脉冲，该脉冲它通过半反镜与S进入光纤，再从光纤的另一端的反射镜反射回进入光纤，当其在光纤中传输时获得压缩，经压缩后的光脉冲又返回进色心激光器放大。此后这个更窄的光脉冲又再次进入光纤谐振腔，光纤再对其压缩，此后又再返回进色心激光器，直至最终形成孤立子。这是一个自恰过程，当形成稳态的孤立子时，它在腔内行走一周回到原处时，应与原来状态完全相同。形成的孤立子可输出反射镜S输出，孤立子脉冲宽度约为100fs（）。

除了上述方法以外，目前正在研究的还有掺铒孤立子激光器、参量孤立子激光器，、拉曼孤立子激光、半导体孤立子激光器等等。目前各种孤立子激光器的研究仍在发展之中，在孤立子通信中究竟选用那种，要通过性能与价格方面的对比才逐步确定下来。

5．全光型孤立子通信

近几年里利用光纤进行通信得到了相当大的进展，它使通信的容量大大的增加，而通信费用则大幅度的下降，它成了当前通信事业大发展的技术基础之一。但是目前的光纤通信技术还是采用低强度光脉冲的线性通信方式。低强度光脉冲在光纤中传布不可避免地产生色散，从而造成光脉冲的加宽与变形，大大地影响到光信息传送的质量与距离。为了要进行长距离的高质量的传送信息，就需要在传送路程上设置许多中继站，通常大约每隔100km就要设置一个。如果要进行数千公里的远距离通信，就要设置数十个中继站。中继站一般由检测器、调制器和激光器等组成。检测器对传送来的光脉冲检出，然后经过放大与整形，重新产生符合要求的光脉冲并送入光纤继续传送。由此可见，为了进行高质量的通信，对中继站的要求是很高的，因此相应的造价也是很昂贵的。由于孤立子在传播中能保持稳定不变的能量与波形，因此采用孤立子进行通信成了诱人的美妙前景。

然而，虽然孤立子可以在传播中保持稳定的能量与波形，但在光纤中传输时一点能量都没有损失是不可能的，例如光纤的任何一点微小缺陷都可造成孤立子能量损失。这就是说在光学孤立子的远距离传送中要解决能量损失的补充问题。而且为了简化能量补充装置，人们希望能在光的传输过程中实现能量补充，而不再去设立中继站。如果真能在传输过程得到能量充，恢复能量受到损失孤立子的形状，这就实现了所谓全光型孤立子光纤通信。为此目标，现已提出了拉曼泵浦技术与掺铒激光放大等方案，使全光型孤立子光纤通信取得了实质上的进展。

1982年，喀达玛（Y.Kodama）等人提出利用拉曼泵浦技术来实现对孤立子能量损失的补充。该技术的实质是：当两列不同频率的光波在光纤中共同传输时，如果它们的能量足够大，高频的光波会将其部分的能量转移给低额的光波。利用这种技术，光学孤立波将通过与泵浦波的相互作用而获得能量。1988年，采用周期性增益补偿，由实验上进行了4000的长距离试验，现在已有成功地进行了近万长距离试验的报道。

图5-20 光纤中拉曼泵浦的激光放大

在上述拉曼泵浦技术中采用了特殊的掺铒光纤。铒是稀土元素，在掺铒激光放大中将它作为光放大的激活介质。图5-20是掺铒光纤放大过程示意图。如图所示，来自半导体二极管激光器波长为980的泵浦光，通过波分复合器与输入信号光一起进入掺铒光纤，信号光的波长为1550，两路光脉冲在掺铒光纤中同方向同时传播。泵浦光980为强光脉冲，它在传播中对铒离子产生一路激发，并因此使其强度一路衰减。而1550的信号光是在铒离子受到激发的光纤中传播，于是它能在传播中不断得到受激放大，强度逐步增强。通过这样的方式，泵浦光能量一路上逐步地将能量转移到了信号光上，从而达到信号光的能量补充的目的。

主要参考文献

1．R.Z．Sagdeev, Nonlinear physics Harword Academic Publishers, London,1988

2. 倪皖荪，魏荣爵，水槽中的孤波，上海科技教育出版社，上海，1997

3．刘式达，刘式适，孤波与湍流，上海科技教育出版社，上海，1994

4．G.B. 惠瑟姆，线性与非线性波，科学出版社，北京，1986

5．D.K. Campbell, 非线性科学—从范例到实用，力学进展，19 （1989），No.2,3,4

6．刘颂豪，廖常俊，金怀诚，孤立子激光器及其发展，物理学进展，9（1989），No. 3