【教学目的】

通过本章教学，使学生了解静磁场的特点以及描述静磁场的两个基本方程、矢势的意义及其满足的泊松方程、磁标势概念、磁多极展开，静磁场与静电场的比较。

【重点难点】

球坐标系的分离变量法和镜像法。

第三章  静磁场

§3.1   矢势及其微分方程

1．静磁场的矢势

（1）         描述静磁场的基本方程

微分形式：，

积分形式: ,

由于静电场的无散性，的磁力线并不终止于某个地方，说明磁力线是闭合的。

（2）         矢势的引入

（3）   矢势的物理意义

如图所示，考虑一个开面的积分，

穿过的磁通量等于穿过的磁通量，这说明是闭合的。

矢势的物理意义

穿过以为边界的磁通量等于矢势的环流。

（4）   矢势的非唯一性

可以看出矢势与矢势对应同一个磁感应强度。

这样一来，引入矢势就毫无意义。为此，必须对矢势施加限制。

（5）   规范条件

库仑规范条件

下面可以证明做到这一点。

假定

可取另一解，使

于是

由上式可知，总可以找到一使。

采用库仑规范的优点

（1）    使建立一一对应得关系，但相差一个常量；

（2）    对于均匀磁场，仍不存在一一对应得关系；

（3）    使关于的微分方程简化。

2．矢势微分方程

 

利用库仑规范条件，得

------------------称为泊松方程

下面泊松方程的特解

与标势泊松方程及其解

比较，可得矢势泊松方程的特解

可以验证这个解得正确性。

上式即为毕奥-萨法尔定律。

3．矢势边值关系

出发点是电场的边值关系

               （1）

                 （2）

利用上式，可得两介质分界面上矢势边值关系为

                   （3）

                         （4）

若矢势满足库仑规范条件，则可导出更简单的矢势边值关系

做回路如图所示，计算磁通量

另一方面，若取，则有

故有

综合之，可得

4．静磁场的能量

磁场总能量为

故当时，上式中的第一项为零。因此有

5．举例

例1：无限长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。

解：建立坐标系，如图所示。注意矢量位的方向与电流方向一致。

当时，

说明当时，矢量位。这是因为我们把无限远处的矢量位规定为零的缘故。

我们可以在矢量位上加一常数

于是

再求磁感应强度

例2：半径为的导线圆环载电流I，求矢势和磁感应。

解： [分析]建立求坐标系，如图所示。因矢势只有，且与坐标无关，故场点可选在平面（平面）中。

先求矢势：

此积分可用椭圆积分表示。

下面采用近似方法，进行积分。

当，有

由于，所以

当时（近轴近似），再圆柱坐标系中有

 

取的旋度，得

对于近原点场，，有

§3.2   磁标势

1．引入磁标势的可能

通常求矢势仍较麻烦，对于静磁场，是否可以引入一个标量势，回答是肯定的。大家知道

若在所求空间中，没有电流与回路相铰链，则

磁场是无旋的，故可与电场类似引入一个标量势。

引入磁标势的条件：

例如，对于螺旋管线圈，在其内部无电流，磁场的旋度为零；又如在两磁极之间，甚止在磁铁内部，也无自由电流分布，故磁场的旋度亦为零。

引入磁标势的根本原因：

磁场总体上是有旋的，但局部可以是无旋的。

想一想： 对于一个电流线圈，在挖掉电流线圈的剩余区域，能否引入磁标势？

2．磁标势

在区域，有

               （1）

                （2）

    （3）

由（1）可引入

3．磁荷

将（3）代入（2）得

定义磁荷密度

（与束缚电荷密度比较）

我们得到

（与比较）

注意：无自由磁荷

磁标势满足的方程为

磁标势边值关系

（此条件由推出）

（此条件由推出）

4．磁标势法有关公式与静电场公式比较

 

静电场	静磁场（区域）

结论：用静电场的方法来分析静磁场问题，如分离变量法，镜像法等。

5．应用举例

例1 证明的磁性物质表面为等势面。

解：设介质1，2的磁场分别为，满足边界条件

可知

因而介质表面为一等势面。

注意：可通过选择磁极表面的形状来获得不同形式的磁场。

例2 求磁化矢量为的均匀磁化铁球所产生的磁场。

解：[分析] 磁介质球将产生束缚磁荷。

磁荷密度为

故磁荷分布在介质球的表面上。

设介质球内外的磁标势分别为，且

注意磁标势的轴对称性，写出通解为

列边界条件

在无穷远处磁标势应取有限值，故

                    （1）

在时，磁标势也应有限，故

（自然边界条件）    （2）

在介质球面上，有

                    （3）

由

       （4）

由（1）推出

由（2）推出

重写为

由（3）和（4）得

比较两边的系数，得

                               （5）

                        （6）

                     （7）

               （8）

联立（5）和（7），解得

联立（6）和（8），解得

于是

还可以表示成

为总磁偶极矩。

球内磁场强度为

球内磁感应强度为

球内磁场强度为

§3.3   磁多极矩

1．矢势的多极展开

电流分布在真空中产生的矢势为

令

假定电流分布在很小区域，或场点远离电流分布，则可把进行展开。与电势的讨论类似，我们可以得到

将其代入矢势公式得

（针对一个电流线圈来分析）

式中

（称为电流线圈的磁矩）

对体电流分布，则有。

2．磁偶极矩的场和磁标势

可以证明在电流区域之外的磁场可用磁标势来描述。

3．小区域电流分布在外磁场中的能量

设外磁场电势为，可以证明，电流分布在外磁场中的能量为

对于小的电流分布，下面近似计算相互作用的能量。取坐标原点在电流的内部，将磁感应在坐标原点附近展开

相互作用能为

可以证明小电流线圈在磁场中的势能为

磁偶极子在外磁场受到的力为

（的源不在线圈原点，故）

还可以求出线圈在磁场中受到的力矩为

本章小结

1. 已知真空中电流分布，求矢势

 

2. 已知矢势求磁感应

  

3.      矢势微分方程和库仑规范

  

4.    矢势满足的边值关系

   

5.    静磁能的一种计算方法

  

6．磁标势

  

   可以用静电场的方法求磁场。

7．磁偶极矩的势和场