【教学目的】

通过本章教学，使学生了解电磁场的规范特性，推迟势的概念，电磁波是怎样产生的以及偶极辐射的特点。

【重点难点】

达朗贝尔方程的解——推迟势，偶极辐射的分析，电磁场动量守恒定律。

第五章    电磁波的辐射

电磁波产生系统是由物质（天线）和电磁辐射组成。天线激发电磁场，电磁波反过来影响天线的电荷与电流分布。分析这个问题通常把天线作为边界条件来处理。

§5.1   电磁场的矢势和标势

1．用势描述电磁场

麦克斯韦方程组

，，，

假定电磁辐射区域在真空中，则有

构成了分析电磁波产生问题的出发点。

称为动态矢势。

于是

称为动态标势。

2．规范变换和规范不变性

对于同一场量可有不同的势与之对应。例如

上述变换称为规范变换。

规范变换：使电磁场量保持不变的势变换。

由于势的非唯一性，我们可以对势施加一定的限制，如：

---------------------洛伦次规范条件

-------------------------------库仑规范条件

3．达朗贝尔方程

下面导出势满足的方程。

应用洛伦次规范条件，得

--------------称为达朗贝尔方程

又由于

同理可得

------------称为达朗贝尔方程

由达朗贝尔方程可以求解电磁辐射问题。

4．举例

例1 求平面电磁波的势。

解:  在无源区域，达朗贝尔方程为

这是一个波动方程，在无界空间中的解为

式中的

另外，须满足洛伦次规范条件

将势的解代入上式，可得

下面求场量。

这与平面电磁波的场量关系相同。

§5.2   推迟势

1．达朗贝尔方程的解

先求解标量势方程的解。

求解思路：分三步，第一步，求点电荷位于坐标原点的势；第二步，求点电荷位于任意位置的势；第三步，求整个电荷分布产生的势。

（1）    设点电荷位于坐标原点，其电量为。点电荷的密度可用函数表示为

     

    

在球坐标系中，由于点电荷产生的势的球对称性，势仅与坐标有关，故达氏方程为

在原点之外，有

            （1）

令

代入（1）可得

此方程的解为

所以

第一项表示向外辐射的球面波，第二项表示向原点汇聚的球面波。由于我们仅研究带电体辐射电磁波的问题，故只考虑第一项。因此

下面确定函数的具体形式。为此讨论的极限情形。在这种情形下，达氏方程中空间变化要比时间变化重要，达氏方程退化为泊松方程，即

而泊松方程的解为

由

得

于是

可以验证这个解是正确的。

（2）    点电荷不在原点，而在位置处，则电势为

    

（3）    对于连续电荷分布，有

  

同样对于矢势，有

2．解的物理意义—推迟势

物理意义：时刻的场与时刻的源有关。这说明源所激发的场须经一定时刻延迟才能传到场点，其传输速度为光速。故上面得到的达氏方程的解又称为推迟势。

求出后（由于洛伦次规范条件，实际上只要求出其中的一个量），就可以求出电磁辐射。

 

 

 

 

§5.3   电偶极辐射

1．计算辐射场的一般公式

若电流分布已知的情形下，可以用上式来计算电流激发的电磁辐射。

设电流是一定频率的交变电流，即

代入推迟势公式，得

式中。

把时间因子分开，即

             （1）

应当指出，求出了之后，在电流分布区域之外，辐射场可由下式求出。

2．矢势近似展开

先研究三个尺度：

辐射波长：

场点与源点间的距离：

电荷电流分布的范围：

应用小区域近似，即

在校区域近似情形下，仍存在三种情形：

（1）    近区：

（2）    感应区：

（3）    远区（辐射区）：

在上述三种不同的区域，电磁辐射具有不同的形式。

在小区域近似下，有

代入公式（1）得

展开式中的各项对应电磁多极辐射。

3．偶极辐射

假定

，即

满足这样的近似，称为偶极近似。

在偶极近似下，有

为了验证上式描述电偶极子产生的辐射，我们考虑离散情形。

，

式中表示电荷为的数目密度，求和对电荷种类求和。

式中为电偶极矩。

下面考虑电偶极子的辐射。在时变情形下，电偶极子振荡，即，但不变。因此

电偶极子产生的矢势为

         （2）

为了计算辐射场强，需要求势的旋度（）。在对（2）求导的过程中，会出现的高阶项。在远离辐射源的情形下，可以忽略。于是，可做代换

这样，求得的辐射场强为

在球坐标下，以方向为极轴，则有

结论：

在远离辐射源，电偶极子辐射TEM波。实际上为TM波。

4．辐射能流 角分布 辐射功率

（1）辐射能流和角分布

角分布

这说明电偶极辐射具有方向性，如图所示。

（2）辐射功率

对一个较大的球面进行面积分，可得辐射功率

若写

辐射功率正比于频率的四次方。

 

5．短天线的辐射 辐射电阻

（1）短天线的辐射

天线电流分布近似为

又

辐射功率为

短天线为电偶极辐射，辐射功率小，因而效率较低。

（2）辐射电阻

天线辐射电磁波后，能量扩散到空间中，需要电源补充能量。对天线而言，相当于存在一个辐射电阻。

电源供给功率为

（为峰值）

此功率等于辐射功率，于是有

 作业：P225,1,2,6

 

§5.7   电磁场的动量

1．电磁场的动量密度和动量流密度

 （1）电磁场动量守恒定律

研究电磁波与带电粒子体系的相互作用。在这一过程忠存在动量守恒。分析如下：从洛伦茨力密度出发

在真空中，有

代入力密度式，得

利用麦氏方程，

，

写成对称形式

定义电磁场的动量密度

洛伦茨力密度写成

                        （1）

下面研究的物理意义。

利用公式

我们得到

同理有

式中为单位张量。

称为动量流密度张量。

于是（1）可写成

对空间进行积分，可得

上式右边表示单位时间内流进闭合面S的电磁场动量，而左边第一项表示单位时间内粒子系统动量的增加量，第二项表示闭合面S的电磁场动量的增加量。上式就是电磁场动量守恒定律。

（2）平面电磁波的动量密度和动量流密度

电磁场的动量密度与能流密度的关系

对于平面电磁波有

所以平均动量密度为

下面讨论平面电磁波动量流密度张量

，  且

同理有

，，

所以只有分量。

2．辐射压力（略）

作业：P225,7,8,10

  

本章小结

1．动态矢势和动态标势

 

2．库仑规范和洛伦茨规范

  库仑规范条件：

洛伦次规范条件：

3．规范变换

4．达朗贝尔方程

   

 

5．推迟势公式

 

6．偶极辐射

 

7．偶极辐射的方向性