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《量子力学》基础习题

 

1．在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。

2．氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求时，氦原子的德布洛意波长。

3．设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。

4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

 

5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。

6．由下列两定态波函数计算几率流密度；

（1）， （2）

7．求粒子在一维无限深势阱   中运动的能级和波函数。

8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是。

9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。

10．一维运动的粒子处于如下状态：

              其中，

(1) 将此波函数归一化，

(2) 问在何处找到粒子的几率最大？

11．设在球坐标系中，粒子的波函数为，

求  (1)在球壳中找到粒子的几率，

(2)在方向，立体角元中找到粒子的几率。

12． 求三维各向同性谐掁子的能级和波函数。

13．设和都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E，试证明：

constant.

14．上题中，若和描述的都是束缚态，试证明和只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当时有)

15．一维线性谐振子处于基态，求

（1）势能的平均值

（2）动能的平均值

（3）动量的几率分布函数。

16．氢原子处于基态，求：

（1）的平均值；

（2）势能的平均值；

（3）最可几半径；

（4）动能的平均值；

（5）动量的几率分布函数。

17．一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是。L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

（1）转子绕一固定轴转动；

（2）转子绕一固定点转动。

18．一维运动的粒子的状态是

              其中，求

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子的平均动量。

19．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

20．设氢原子处于状态

　　　　

求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

21．求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系

22．已知和是二个厄密算符，试证明：

(1) 也是厄密算符

(2) 也是厄密算符

23．求解算符的本征值和本征函数。

24．令和，试证明

(1)  ，(2)

25．求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。

26．求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

27．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

28．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

29．设已知在和表象中，算符和和矩阵分别为

　　　，　

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。

30．求下面四个矩阵元：，，和。

31．已知某表象的三个基矢为：，有两个算符和，它们有如下性质：，，，

                   ，，，

试写出算符，，和的矩阵。

32．实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为的均匀分

球体它产生的电势为

           

为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，

计算原子的能级的一级微扰修正。

33．设，

，（为实数）

用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把矩阵对角化）比较。

34．一维无限深势阱（0，a）中的一个粒子在时刻处于如态：

，

求时刻的状态波函数。

35．已知某体系的哈密顿算符，其中无微扰哈密顿算符和微扰在表象中的矩阵分别为：

， ，

试用微扰论方法求能级。(精确到二级修正)

36．体系无微扰的能级E是二度简并，波函数是和，它们是相互正交归一的。现有微扰，而且有，，

求一级近似的能级和相应的零级近似波函数。

37．求证：

38．在本征态下，求

39．在表象中，求和的本征值和本征矢量。

40．求自旋角动量在方向的投影

　　　　

的本征值和所属的本征函数。

41．设氢原子状态是

　　　　　

（1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；

（2）求总磁矩　　（SI）

的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。

42．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

43．证明，，和组成正交归一系。

44．设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。

 

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