《近世代数（I）》教学大纲

一、说明

1. 课程的性质、地位和任务

近世代数（又名抽象代数）是现代数学的重要基础，也是高等代数的一门后续课程。近世代数不仅在数学中占有极其重要的地位，而且具有丰富的实际应用背景，在相关学科中有着广泛的应用，对其他学科产生了越来越大的影响，如计算机科学、信息科学、近代论物理与近代化学等。理解和掌握近世代数的基本内容、方法和理论，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，提高抽象思维能力，培养数学修养都有重要意义。近世代数的基本概念、理论和方法，是基础数学和应用数学的重要基础，是每一个数学工作者所必须的基本数学素养之一。

2. 课程教学的基本要求

近世代数的基本内容包括群、环、域等代数系统的基本结构，要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。能够计算群的元素的阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。通过本课程的学习，可以为其它近代数学知识提供必须的代数学基础，进一步提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、运用代数方法解决实际问题的能力。

3. 本课程的重点与难点

重点是群、环、域的概念与性质。由于本课程是理论性较强的学科，且教学时数所限，学生接受与掌握群、环、域的概念较为困难。

二、课堂教学时数及课后作业题型分配（含数量）

三、正文

• 基本概念

【教学目的】

• 使学生掌握集合的基本概念；
• 使学生掌握代数运算的概念；
• 使学生掌握映射、单射、满射、一一映射以及变换的概念；
• 使学生掌握同态、同构、自同构的概念；
• 使学生掌握等价关系与分类的概念与思想。

【重点难点】

• 重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类的概念。
• 难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。

第一节 集合

子集与真子集，并集、交集。

第二节 映射

映射的定义，以及象与逆象的概念。

第三节 代数运算

代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。

第四节 结合律

结合律的定义。

第五节 交换律

交换律的定义。

第六节 分配律

分配律的定义。

第七节 一一映射、变换

一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。

第八节 同态

同态映射、同态满射。

第九节 同构、自同构

同构、自同构：同构映射、自同构。

第十节 等价关系与集合的分类

等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。

第二章 群

【教学目的】

1、使学生了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。

2、使学生充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

3、使学生了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。

4、使学生理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

5、使学生掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

6、使学生熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。

7、使学生理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

8、使学生了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

9、使学生掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

10、 使学生了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义，了解“G的阶/N的阶=G/N的阶”的意义及其应用。

11、 使学生能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中

【重点难点】

• 重点：群的定义、变换群及其基本定理，置换群、子群。
• 难点：变换群、子群的陪集、商群。

第一节 群的定义

群的定义：群的第一定义、群的第二定义，左、右单位元，左、右逆元的，群的阶，有限群和交换群的定义。

第二节 单位元、逆元、消去律

单位元的存在性和唯一性，逆元的概念，元的阶，消去律。

第三节 有限群的另一定义

有限群的另一定义。

第四节 群的同态

和一个群同态的非空集合也是一个群。在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

第五节 变换群

恒等变换，集合的若干个变换（包含恒等变换）构成的集合作成群，变换群的定义与基本定理。

第六节 置换群

置换、置换群，对称群，k-循环置换，循环置换的乘积，有限群与置换群的关系。

第七节 循环群

循环群、生成元。整数加群，剩余类加群，生成元的阶。

第八节 子群

子群的定义，子集成群的充分必要条件，有限子集成群的充分必要条件，S生成的子群。

第九节 子群的陪集

右陪集、左陪集，左、右陪集个数的关系。指数，Lagrange定理，有限群中群的阶和元的阶的关系。

第十节 不变子群、商群

不变子群、商群的概念与性质。

第十一节 同态与不变子群

同态基本定理与对应定理。

第三章环与域

【教学目的】

1、使学生掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则。

2、使学生理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。

3、使学生了解除环的定义，与能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系，理顺环——交换环、有单位元环和无零因子环——整环、除环——域的关系。

4、使学生熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质

5、使学生理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉子除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。

6、使学生了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

7、使学生理解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。

8、使学生理解一个环的所有模ц的剩余类作成的集合也是环，且与原来的环同态。了解在同态映射下的两个环相互之间的关系、性质。

9、使学生了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。

10、使学生掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理。

【重点难点】

• 重点：环、域，理想。
• 难点：环的同态，最大理想，商域。

第一节 加群、环的定义

加群、负元、零元，环。

第二节 交换律、单位元、零因子、整环

交换律、交换环，单位元、零因子、整环。

第三节 除环、域

除环、域，除环的乘群，四元数除环。

第四节 无零因子环的特征

没有零因子的环的性质，特征的定义，整环、除环以及域的特征的性质。

第五节 子环、环的同态

子环、子除环，子整域、子域，同态环或子环的性质，同构环的性质。

第六节 多项式环

多项式、系数，多项式环，未定元，次数，多项式的系数、无关未定元。

第七节 理想

理想子环，零理想，单位理想，主理想。

第八节 剩余类环、同态与理想

模N的剩余类，剩余类环，同态基本定理与对应定理。

第九节 最大理想

最大理想。

第十节 商域

商域，商域适合的计算规则。

第四章整环里的因子分解

【教学目的】

1、了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。

2、知道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判别唯一分解环的方法。

3、理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

4、了解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

5、知道本原多项式的定义，理解本原多项式的性质，和本原多项式的唯一分解性，并对分解环有进一步的认识。

6、了解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和推论。

【重点难点】

• 重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。
• 难点：唯一分解环，主理想、最大理想，欧氏环。

第一节 素元、唯一分解

整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。

第二节 唯一分解环

唯一分解环，唯一分解环的性质。公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。

第三节 主理想环

主理想环，主理想和最大理想、分解环的关系。

第四节 欧氏环

欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系。

第五节 多项式环的因子分解

本原多项式的定义及其引理。

第六节 因子分解与多项式的根

多项式的根、重根、导数；重根的判别定理。

四、使用教材与教学参考书目

【使用教材】

张禾瑞，《近世代数基础（修订本）》，高等教育出版社，1978年5月修订本。

【教学参考书目】

1、朱平天、李伯葓、邹园，《近世代数》，科学出版社，2001年第一版。

2、胡冠章，《应用近世代数》，清华大学出版社，1999年2月第2版。

3、聂灵沼、丁石孙，《代数学引论》，高等教育出版社，2000年9月第2版。

4、刘绍学，《近世代数基础》，高等教育出版社，1999年。

5、吴品三，《近世代数》，人民教育出版社，1979年。

6、冯克勤、李尚志、查建国、章璞，《近世代数引论》，中国科学技术大学出版社，2002年。

7、熊全淹，《近世代数》，武汉大学出版社，1984年修订版。

8、姚摹生，《抽象代数学》，复旦大学出版社，1998年。

9、张广祥，《抽象代数》，科学出版社，2005年。

10、韩士安、林磊，《近世代数》，科学出版社，2004年。

11、J. Rotman, 《Abstract Algebra》 (A First Course in Abstract Algebra，Prentice-Hall),机械工业出版社，2004年。